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[成果]
gkls052785
O18
基础理论
公布年份:2007
成果简介:该研究成果是漳州师范学院吴炯圻教授在实施多项自然科学基金项目的过程中完成的。 作为研究成果,主要由14篇在国内、外学术核心期刊发表的论文和一部独立完成的专著(34.5万字,厦门大学出版社出版)。在本学科分支领域中,这些成果是国内领先的,主要成果在国际上属于先进水平。该项目研究主要取得如下具体成果:一.广义容量与细拓扑及其在函数论、模糊测度中的应用 1、部分解决著名学者提出的关于容量与模关系的公开问题1998年,J.Heinonen和P.Koskela在度量测度空间上建立了拟共形映照理论,发展了L.Ahlfors 和A.Beurling的理论,他们的最基本的工具仍是曲线族的p—模和与之密切相关的p—容量。当时Heinonen和Koskela提出一个公开问题:在一般的(X,)中,对于开集Y,capp(E,F;Y) cappC(E,F;Y) cappL(E,F;Y)中等号可以在什么条件下成立? 本人的论文^[1](On p-modulus and p-capaciy equalities in metric measure spaces,Indian Journal of pure and applied Mathematics,2005,8(SCI刊源))在空间X的紧致化X*上就相当广泛的条件,建立了p—模与p—容量的等式,并得到了使得X上的等式cappC(E,F,X)= modp(E,F,X)成立的较一般的充分条件,其中(E,F,X)是X上连接E和F的曲线.这给出了Heinonen 和Koskela提出的有关等式成立条件的公开问题的部分回答,将此前Heinonen和Koskela的结果和吴泽民、方爱农等的相关研究推进了一大步。2.引入太阳拓扑与L太阳拓扑,理顺各种细拓扑的次序关系细拓扑是位势论的重要内容之一,也研究各类偏微分方程广义解的边界性质的重要工具,而且通过寻求它与容量的关系,可在多个领域获得了广泛的应用。在传统细拓扑的基础上,G.Horbaczewska引入P—太阳拓扑的概念,1999年P.Pyrih证明了平面上的P—太阳拓扑严格细于关于对数位势论的细拓扑(即2—细拓扑)。但是如下问题仍然未解决:在P—太阳拓扑和 —细拓扑(M.Riesz细拓扑)或2—细拓扑之间是否还有其他类型的可比粗细的拓扑?它们之间的关系如何?本人的论文^[2](The-fine topology and L-topology in the plane,Indian J.Pure.Appl.Math.2003年8月,34(8)(SCI刊源))通过引进了 —太阳拓扑和L—太阳拓扑的概念,彻底解决这个问题,并大大地加细了各种不同类型拓扑之间的关系比较。文中还进一步研究了 —太阳拓扑与L—太阳拓扑的分离性,不可分性等性质。3.关于广义容量与权的研究发展了容量理论 本人的论文^[3]《OnC-Continuityofgeneraligedprecapacities》通过引入拟容量的概念研究了广义容量、权与Choquet容量之间的关系(有反例说明推广的实质意义),用新的观点处理了不具可数基的空间上广义容量的正则性问题,加深了传统研究的广度与深度,证明了在相当广泛的条件下拟容量也满足容量的基本性质,发展了C.Canstantinescu ,A.Cornea ,J.Bliedtner和W.Hansen等著名数学家的有关研究,并用于研究调和空间上正超调和函数的缩减函数与扫除函数,深化了它们的位势论性质的刻画。这些结果在其它后继论文中得到进一步发展。4、广义容量用于研究函数的边界性质论文^[4]《Onfinelimitsandcurving shapedlimits》研究了比 —调和函数远为一般的函数类的细极限与曲型极限,其中曲型极限是本文的创造,它比非切极限等更为一般。接着在^[5]《On(p,)-thinnessand(p,)limitsofSIH-function》中研究了对应于非线性方程的位势论中的(p,)容量及用它定义的(p,)细拓扑,明确指出了SIH-函数的(p,)细极限与曲型极限的关系,文中给出了(p,)— 瘦的一个充要判别法和关于非正则点的一个新的有效的判别法则,改进了著名数学家J.Heinonen ,T.kilpelainen ,O.Martio等人关于非线性偏微分方程边值问题的正则边界点的判别法,推广了多位数学大家有关的工作。得到O.Martio的充分肯定,由他推荐发表(参见两篇文章中致谢的部分)。5、广义容量用于研究模糊测度的正则性测度既是近代位势论的研究工具之一,也是研究内容之一。本人的论文^[6]~[7]把关于广义容量与权的研究成果与方法用于模糊测度的正则性研究,发展了著名专家吴从炘教授与哈明虎教授等人相关的成果。建立了位势论与模糊数学理论这两个学科分支之间的联系。此前似未见过类似的先例。6、撰写出版专著《现代位势理论导引》(厦门大学出版社,1998.10),该书总结了位势理论领域近二十年的许多重要成果,主要介绍国际名家的贡献,也简要概括国内学者的工作,包括本人关于容量、权的研究成果和其他成果。该专著“框架宽大,内容组织恰当”,国内著名数学家、中国科学院院士,中国科技大学原校长谷超豪教授为本书写了序言,充分肯定了本书的价值:“无论是作为研究生教材或专门著作,这本书都是很有价值的。”此书也得到著名美籍华人函数论专家C.C.Yang的重视。二.结合位势论方法,研究非线性微分方程的解的存在性与渐近性质本子课题重点研究奇异非线性椭圆方程的正整体解的存在性和有关性质(主要是渐近性质)。它不仅在微分方程的理论研究上具有重要的意义,而且在物理、力学、天文学和工程技术许多领域可获得广泛和深入的应用。成果在文[8]~[14]等7篇论文中得到体现。重点研究三种类型方程(组):1.关于多重调和算子的奇异非线性方程的正整体解的研究(见[8],[9],[10]);2.关于Lp算子的奇异非线性椭圆方程的正整体解的研究(见[11],[12],[13]);3.关于奇异非线性椭圆方程组的正整体解的研究(见[14]:On the existence of radial positive entire solutions for polyharmonic systems,J.math.Anal.Appl.(已经挂在该杂志的网上)。SCI刊源杂志)。二、创新点(1)研究的方程更一般,不但算子或函数更一般,而且增加了“奇异性”; 所得成果推广了国内外多位专家的结果,包括T.Kusano,N.Kuwano,M.Naito,T.Teramoto,X.Wang and A.W.Wood,许兴叶等人的研究。(2)研究的工作更深入,不仅考虑解存在的充分条件,同时研究了必要条件。(3)对于“非线性”和“奇异性”所带来的困难,其复杂性远远超过线性的与非奇异的情况,且此前别人常用的工具未必可行。由于我们采用了位势理论方法和位势的结论(如下调和函数的性质),并把它和拓扑及泛函的方法结合起来,使得一些困难得以克服,并获得超过别人的结果。三、国内外同类研究工作取得的进展在该项目研究期间,容量、细拓扑的研究和应用,非线性微分方程的解的存在性,模糊测度的研究与分形的Hausdorff测度的研究在国内、外都取得广泛而深入的进展。1、其中使用容量与细拓扑研究函数的极限性质方面的工作以日本的E.Aikawa最突出,在J.Heinonen 和P.Koskela问题研究上,S.Kallunki 与 N.Shanmugalingam等人发表了一系列出色的工作。与他们相比,本人的考虑的条件更一般,研究的切入角度在某种意义上更自然。如Aikawa只考虑区域整体性质;在容量与模的关系研究中,他们假定度量测度空间具有(1,p)- Poincare不等式,常限于空间的总测度为有限的;本人则从度量测度空间本身的拓扑结构出发开展研究,空间的总测度允许无限。同时,在细拓扑排序方面,本人的工作[2]似乎达到相对完善的地步,目前未见到更进一步的结果。2、非线性椭圆方程的正整体解的存在性研究上,Tomomitsu Teramoto.Alan.V.Lair,Aihua W.Wood,Serrin J,Zou H.等人做了一系列出色的工作;而本人的工作在考虑了奇异性的前提下,与同类工作相比,无论难度与深度或方法上都是先进的。3、在模糊测度的正则性的研究上,国外许多学者,国内吴从炘和他的学生有许多重要工作。本人采用位势论的容量的观点来研究模糊测度,在国内外尚属少见。 从总体上看,我们的结果在国内领先,主要成果在国际上也是先进的。