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[博士论文] 王冰冰
计算力学 大连理工大学 2018(学位年度)
摘要:以无单元伽辽金法为代表,近二十余年发展起来的无网格法,有着近似(插值)函数的形成不依赖于网格信息(节点之间的拓扑连接)、易于形成高阶光滑近似等优点,已经在大变形分析、自适应计算以及动态破坏模拟等方面得到广泛应用。然而,由于无网格形函数多为非多项式的有理函数,导致精确计算Galerkin弱形式的区域积分相对困难。如果采用常见的基于背景网格的高斯积分方法,往往需要在每个积分网格内布置大量的区域积分点,才能保证计算结果的稳定性。这无疑降低了无网格法的计算效率,制约其在实际工程分析中的应用。
  本文工作可以分为一般弹性体和薄板壳两个方面。一方面,针对一般弹性体问题无网格分析的数值积分困难,本文通过采用修正节点形函数导数的方法,基于胡-鹫广义变分原理理性推导了适用于高阶无网格法的导数修正方程,并引入泰勒展开技术,分别为二维和三维无网格法发展了满足高阶一致性的节点积分方案。所发展方法能够精确再现线性应变场,与现有的高斯积分方法和仅能再现常数应变场的稳定相容节点积分方法相比具有更好的计算精度、效率以及稳定性。与三线性有限元(八节点六面体单元)相比,所提出的高阶一致性节点积分方法也同样具有更好的计算精度和收敛性,甚至展现出优于八节点六面体单元的计算效率。
  另一方面,薄板壳作为一类重要的工程构件,被广泛应用在航空航天、土木建筑、船舶、海洋、机械以及化工等行业。由于其相关力学问题极具实际工程意义,板壳结构在不同载荷作用下的力学行为一直是计算力学的研究热点之一。从数学上来讲,薄板壳的控制方程为高阶偏微分方程(组),当对其采用数值求解时,要求场变量的近似函数至少具有C1连续性。然而,目前广泛应用于工程数值分析领域的有限单元法,其基于拉格朗日插值的形函数仅具有C0连续性,不能直接方便地应用于薄板壳分析。与此不同的是,以无单元伽辽金法为代表的无网格法易于形成任意阶光滑近似,因而在薄板壳问题的数值分析上具有天然优势。但是,与前述一般弹性体问题一样,薄板壳的无网格分析同样缺乏准确高效的数值积分方法,这也是本文致力于研究的主要问题之一。
  对于薄板弯曲问题,由于其控制方程为四阶偏微分方程,刚度阵涉及到节点形函数二阶导数的乘积,因而数值积分比一般弹性体问题更为困难。针对该问题,本文同样基于胡-鹫三变量混合变分原理,理性推导了适用于任意阶近似的导数修正方程,该方程表达了节点形函数、标准导数和修正的二阶导数之间应满足的关系。基于此,本文进一步建立了相应的积分格式。以三阶无网格近似为例,本文建立的基于背景三角形积分网格的三点积分格式可精确反映纯弯曲和线性弯曲模式(因而称之为线性曲率光顺方案)。与标准的高斯积分方法相比,所建立方法显著提高了计算精度和效率。本文还将该方法应用于薄板的自由振动分析,与现有的高斯积分和常曲率积分方法相比,得到了更为精确的自振频率。此外,本文对于薄板弯曲问题也发展了能够精确反映线性弯曲模式的节点积分方案。
  对于薄壳问题,由于同时存在薄膜应力和弯曲应力,其数值求解比薄板问题更为困难。本文基于几何精确壳模型,将壳中面投影为参数意义下的平面,然后在参数平面下,建立了分别适用于薄膜应变和弯曲应变的导数修正方程。前者表征了节点一阶修正导数和节点标准形函数之间的关系,后者表征了节点修正的二阶导数和节点标准形函数及其导数之间应满足的关系。基于所发展的导数修正方程,本文为三阶无网格近似发展了可精确反映线性应变状态的积分格式,与标准的高斯积分方法相比,显著提高了计算精度和效率,且能够得到更为准确的薄膜应力和弯曲应力场,实现了薄壳问题的高效无网格分析。
  板壳断裂是工程中最为常见的结构失效模式之一,板壳断裂问题也一直是断裂力学关注的重点。然而由于C1单元难以构造,目前对薄板壳结构裂纹扩展数值模拟方法方面的研究还远未成熟。众所周知,裂纹扩展模拟的一个重要部分是强间断(裂纹)的数值表征。本文采用虚拟节点描述裂纹处的强间断,并通过修正节点形函数导数提高计算效率和精度,实现了对薄板壳裂纹扩展过程的数值模拟。
[博士论文] 高欣
计算力学 大连理工大学 2018(学位年度)
摘要:无单元伽辽金法(Element-Free Galerkin method,EFG)是近二十余年逐步发展起来的一种无网格方法,由于其具有不依赖于网格单元建立近似函数、易于构造高阶近似以及形函数高度光滑等优点,因此在裂纹扩展、自适应分析、板壳计算以及大变形模拟等方面展现出显著的优势,极具发展潜力。然而,由于无单元伽辽金法的形函数为非多项式的有理函数,弱形式的数值积分难以准确计算,需要采用较多的数值积分点才能保证计算的稳定性,不仅导致计算效率低,而且积分精度也不够,不能精确通过对于保证收敛性具有重要意义的分片试验,这在很大程度上限制了其在工程上的广泛应用。如何理性地减少积分点数目,同时保证计算精度,从而显著提高无单元法的计算效率是具有重要研究意义的科学问题,这正是本文主要研究的问题。
  本文工作的前期基础是段庆林等于2012年提出的无网格法的“导数一致性框架”。采用由该框架确定的修正导数计算刚度阵,可达到减少积分点数目和提高计算效率的效果。然而,该方法将修正导数引入到刚度阵缺乏理论基础。本文基于Hu-Washizu三变量变分原理重新推导出该“导数一致性框架”,而且修正导数自然地出现在弱形式中,从而为该方法奠定了数学基础,并将其称之为一致性无单元伽辽金法(Consistent Element-Free Galerkin method,CEFG)。对于平面问题,本文分别建立了二阶和三阶CEFG方法,大幅度减少了EFG所需的积分点数目,同时改善了计算精度和收敛性,因而显著提高了EFG方法的计算效率。同时,本文还将该方法拓展到三维,建立了二阶一致四点积分方法(Quadratically Consistent4-point integration method,QC4),显著改善了三维无单元法的计算精度、收敛性和计算效率。
  本文还发展了一致性无单元伽辽金法的一点积分方法。该方法基于所建立的导数修正一致性框架,通过引入泰勒展开技术进一步减少积分点数目,在每个积分子域上仅使用一个积分点,可精确再生线性应变场且无沙漏模式产生。所建立的一点积分方法能精确通过线性和二次分片试验,因而称之为二阶一致1点积分方法(Quadratically Consistent1-point integration method,QC1)。与其它一点积分方法相比,所建立的QC1方法在计算精度、收敛性、稳定性以及计算效率等方面均展现出显著优势。
  裂纹扩展的数值模拟是无单元伽辽金法的重要应用领域之一。本文将所建立的一致性高阶无单元伽辽金法由连续体问题拓展到裂纹问题(即非连续体问题)。采用虚拟节点法描述裂纹处位移的强间断,提出了虚拟节点的引入算法和断裂“单元”的数值积分方法。相较于标准的高阶无网格法和低阶一致性无网格法,一致性高阶方法显著改善了应力强度因子的计算精度,同时能够准确预测裂纹扩展路径。进一步地,本文充分利用了无单元法易于局部加密节点的优点,随裂纹扩展在裂尖附近自适应地增加计算节点,实现了裂纹扩展过程的自适应模拟,显著减少了节点数目,缩小了计算规模。
  此外,本文还对无单元法精确施加本质边界条件开展了研究工作,分别考察了耦合有限元和耦合权函数的本质边界条件施加方法,并给出了改进措施。
[硕士论文] 曹姗
数学 浙江理工大学 2017(学位年度)
摘要:本文主要研究了约束Hamilton系统的正则化及对称性理论。奇异Lagrange量描述的系统(包括所有规范不变系统),由于在相空间中描述时必存在固有约束,此时称为约束Hamilton系统。当系统存在约束时,其运动方程非正则,很多有用的性质和算法不能直接应用其中。为了使约束Hamilton系统的运动方程也具有正则形式,在本文中给出了一个变量变换的方法,得到一组新的变量,在新变量下其运动方程变为正则的,使约束Hamilton系统研究起来更为方便。在实现正则化之后,原来研究一般力学系统的对称性理论就可以直接应用到约束Hamilton系统中。本文给出了在正则化方法下约束Hamilton系统的Noether对称性和Lie对称性理论,可以容易的求得系统的守恒量。之后将约束Hamilton系统的正则化方法和对称性理论应用到了场论系统中,得到了很好的结果。每一章的最后都给出实例验证结果的应用。下面是本文的具体研究内容:
  首先系统地介绍了约束Hamilton系统的基本理论,说明了由奇异Lagrange量系统转换到相空间时约束是如何产生的。阐明了初级约束、次级约束、第一类约束以及第二类约束的意义,为下面提出的正则化方法做好理论准备。
  其次讨论了如何将约束Hamilton系统的运动方程正则化。具体思想是构造一个新旧变量之间的变量变换,使它满足正则方程的条件。通过这样的变换,可以得到一组新变量,在新变量下,使原约束Hamilton方程正则化。之后,我们给出了两个例子验证此方法的可行性。
  在正则化的基础上讨论了约束Hamilton系统的Noether对称性理论。约束Hamilton系统经过正则化之后可以按照常用的约束力学系统的Noether对称性理论,给出系统的Noether对称性。这为求解约束Hamilton系统提供了一种新的方法。具体讨论了约束Hamilton系统运动方程的Noether对称性和守恒量,包括系统中Hamilton作用量的变分,约束Hamilton系统的Noether对称变换,准对称变换和广义准对称变换,Killing方程以及Noether定理等。
  研究约束Hamilton系统的Lie对称性。系统经过正则化之后可以根据研究一般力学系统Lie对称性的方法给出约束Hamilton系统的Lie对称性和相应的守恒量。包括建立约束Hamilton系统的运动方程,变换群与生成元,Lie对称性的确定方程,限制方程,结构方程和守恒量形式等。除此之外还讨论了约束Hamilton系统的Noether对称性和Lie对称性之间的关系。最后给出了两个例子验证约束Hamilton系统对称性理论的应用。
  最后,将约束Hamilton系统的正则化方法和对称性理论应用到场论系统中。给出了场论系统的Hamilton方程,利用前面的正则化方法可将场论系统的Hamilton方程正则化,再进一步研究系统的对称性及守恒量。之后以带电粒子在电磁场中的运动为例验证理论的应用。
[硕士论文] 周景润
数学 浙江理工大学 2017(学位年度)
摘要:一般情况下,我们研究的约束力学系统有两种,一种是具有外界施加约束的正规系统,另外一种就约束Hamilton系统,前者是由正规Lagrange量描述的系统,其受到是附加约束力,而后者是由奇异Lagrange量描述的奇异系统,其约束是指在相形空间中正则变量之间的某些关系。另外,我们知道一个动力学系统可以由Lagrange和Hamilton两种描述形式,对于正规系统,由位行空间的Lagrange描述过渡到相形空间的Hamilton描述时,正则变量之间是相互独立的,而对于奇异系统,正则变量之间存在着关系,也称为系统的固有约束,我们称此类系统为约束Hamilton系统.另外量子场论是当今一个热门研究领域,而量子场论中多数系统都是奇异的,所以本文针对约束Hamilton系统的对称性及其应用展开了讨论。研究了约束Hamilton系统的Lie对称性及守恒量,分别给出了系统的Noether守恒量和非Noether守恒量(Mei守恒量和Hojman守恒量),另外又研究了约束Hamilton系统的积分因子和对称性,最后把这两种方法推广到了场论中,前后研究了约束Hamilton系统的积分因子方法在场论中的应用、Lie对称性方法在场论中的应用,分别得到了场论中规范不变自对偶场和复标量场与Chern-Simons项耦合的对称性,并导出了其守恒量。本文的研究内容包括以下几个方面.
  第一,结合约束Hamilton系统的固有约束给出了系统的正则运动方程。首先根据系统的运动方程和内在约束在无限小变换下的不变性,建立了约束Hamilton系统的确定方程、限制方程、附加限制方程;其次构建了系统的结构方程,进而给出系统的守恒量;最后又进一步研究了满足确定方程的无限小生成元是否满足限制方程和附加限制方程,从而讨论了系统的一般Lie对成性、弱Lie对称性和强Lie对称性.
  第二,给出了约束Hamilton系统的Lie对称性和非Noether对称性的关系,从两个方面导出系统的非Noether守恒量(Mei守恒量,Hojman守恒量)。一方面其一是根据系统运动力学函数在无限小变换下的形式不变性,提出了约束Hamilton系统的Mei对称性及其守恒量;其二则是直接从系统的微分方程出发,由时间不变的特殊Lie对称性推导出约束Hamilton系统的特殊Lie确定方程,基于特殊Lie确定方程给出了一种新型守恒量,Hojman守恒量,此守恒量已经证明为非Noether守恒量。
  第三,研究了约束Hamilton系统的积分因子和对称性。给出了约束Hamilton系统的正则运动方程,构建约束Hamilton系统的积分因子和守恒定理,给出系统的广义Killing方程,最后由广义Killing方程解得积分因子和未知函数,最后结合守恒定理给出了系统的守恒量。
  第四,建立了场论系统在相空间的正则Hamilton方程,其次给出了场论系统的积分因子和守恒定理,然后构建了场论系统的广义Killing方程,最后给出场论系统的守恒量。以场论中的规范不变自对偶场为例子,证明积分因子方法的可行性和优点。
  第五,根据约束Hamilton系统Lie对称性理论研究了场论的对称性和守恒量。首先给出了场论系统的正则方程和内在约束方程,根据系统正则方程和固有约束方程在无限小变换下的不变性构建了Lie对称性确定方程,限制方程和附加限制方程,并且给出了场论系统的结构方程和守恒定理;其次结合场论系统的限制方程和附加限制方程分别得到场论系统的一般Lie对称性、弱Lie对称性和强Lie对称性;最后导出场论系统的一般Lie守恒量,弱Lie守恒量和强Lie守恒量。
[硕士论文] 毛翎
计算力学 大连理工大学 2017(学位年度)
摘要:理性有限元法是以位移形式的齐次微分控制方程的基本解作为插值函数,直接在物理域内列式,在单元级别考虑分片试验的要求并进行修正。避免了传统方法对物理问题和数学问题的割裂,具备更清晰的力学含义。由于舍弃了有限元的等参技术,并采用弹性力学方程组的线性无关解对单元的位移场和应力场同时进行插值,这一方法大大地提高了应力场、应变场的数值稳定性和精度。
  本文首先从泛函和逼近论等角度,简要地说明了理性有限元法的基本思路和工作流程。由于理性有限元的特点是在单元内部采用解析基本解作为插值函数,因此特别选取具有明确物理意义的解析基本解作为插值函数。由于理性有限元法本质上属于非协调元,因此,需要通过分片试验的要求。通过对现有几种C0分片试验提法的分析,本文采用单元级别分片试验的提法,对单元刚度阵进行检验,并根据检验结果,对单元刚度阵进行了正交化修正,使单元的收敛性得到保证。
  本文介绍了平面各向异性理性单元的构建方法。通过对平面各向异性问题解析基本解的合理选择,所选择的插值函数具备明确的力学性质。在生成单元广义刚度阵时,解析地完成了插值函数的积分。单元刚度阵的生成,充分的考虑了单元级别分片试验的要求,通过正交化修正单元刚度阵,使得平面各向异性理性单元的收敛性得以保证。
  本文还发展了空间各向异性理性单元,提出了构建完备解析解的方法,对解析单元刚度阵的生成过程做出了详细研究。采用解析方法对插值函数进行积分,使得广义刚度阵的元素均为单元几何性质与物理参数的函数,充分体现了本方法的理性特点。在分片试验和正交化修正过程中,本文对单元集约节点力向量的生成做了研究,通过虚位移原理和等参思想,推导得到了六面体单元的集约节点力向量。
  本文构建了各向异性平面问题分析的四节点、五节点、八节点、九节点等四种平面理性四边形单元,和各向异性空间问题分析的八节点、二十节点等两种空间六面体单元。
  本文所提供的数值实验表明,上述各向异性理性有限元具有较高的求解精度和良好的数值稳定性,并对网格畸变有很好的适应性,是各向异性弹性问题数值分析的一种有效求解方法。
[硕士论文] 孔楠
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2017(学位年度)
摘要:时间尺度为实数域上一非空闭子集,其理论可以统一离散和连续两种情况。故,可将时间尺度理论应用于动力学系统的研究中,即利用时间尺度理论将动力学中的离散系统和连续系统统一起来。在此基础上,以时间尺度理论为基石,可将经典力学的对称性理论推广至任意时间尺度上的力学系统之中。
  本文借助时间尺度理论把连续和离散两种力学体系的Mei对称性理论统一起来,详尽地给出了时间尺度上保守力学系统的Lagrange体系、完整力学系统中Nielsen体系的Mei对称性及其相应守恒量的求法。此研究方法很好地统一了经典动力学中离散系统与连续系统的Mei对称性及其相应守恒量的基本理论。
  首先研究了时间尺度上保守力学系统Lagrange方程Mei对称性的结构方程及由其直接导出的三个Mei守恒量。在无限小群变换下,定义时间尺度上Lagrange方程的Mei对称性,并推出其判据,由此得出其在时间尺度上的Mei对称性结构方程,以及由其直接导出的三个Mei守恒量。
  其次探讨了时间尺度上完整力学系统Nielsen方程的两种证明方法,一种是基于时间尺度上约当原理,结合时间尺度上动能函数给出时间尺度上完整力学系统Nielsen方程的证明;另一种是利用时间尺度上非保守系统的哈密顿正则方程和哈密顿原理给予证明。
  最后推导了时间尺度上完整力学系统Nielsen方程的Mei对称性及其直接导致的Mei守恒量。在无限小群变换下,定义时间尺度上Nielsen方程的Mei对称性,并推出其相应判据,由此得到其在时间尺度上Mei对称性的结构方程,以及由其直接导出的Mei守恒量。
[博士论文] 宋传静
力学 南京理工大学 2017(学位年度)
摘要:经典力学传统的方法只适合处理保守系统,而在物理世界中观察到的几乎所有的经典过程都是非保守的。因此,研究人员致力于寻找处理经典力学和量子力学中摩擦力和其它形式耗散力的方法。而1996年,Riewe发现分数阶导数是处理非保守力的一个有效方法。于是,分数阶约束力学系统动力学的研究成为一个热门课题。时间尺度是实数集的任意非空闭子集,由该定义知时间尺度可以将连续分析、离散分析及量子分析等统一起来,为复杂动力学系统的研究提供强有力的数学工具。本论文将分数阶模型及时间尺度微积分用于研究经典约束力学系统的变分问题、对称性与守恒量及对称性的摄动与绝热不变量。
  由变分原理出发,建立了时间尺度上nabla导数下的Hamilton正则方程、时间尺度上Birkhoff系统的delta-nabla积分方程、时间尺度上delta导数下的广义Birkhoff方程、Riemann-Liouville分数阶导数下的分数阶广义Birkhoff方程、离散的分数阶Lagrange方程和离散的分数阶Birkhoff方程。
  采用对称性方法,得到了(1)时间尺度上奇异Lagrange系统、Hamilton系统、Birkhoff系统和广义Birkhoff系统的Noether定理;(2)联合Riemann-Liouville分数阶导数、Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数、联合Caputo分数阶导数和Riesz-Caputo分数阶导数下Birkhoff系统的Noether定理;(3)Riemann-Liouville分数阶导数下广义Birkhoff系统的Noether定理;(4)El-Nabulsi分数阶模型下Birkhoff系统的Lie、Mei对称性与守恒量。
  基于绝热不变量的定义,研究了(1)时间尺度上Lagrange系统和非完整系统Noether对称性的摄动与绝热不变量;(2)联合Riemann-Liouville分数阶导数、Riesz-Riemann-Liouville分数阶导数、联合Caputo分数阶导数和Riesz-Caputo分数阶导数下Birkhoff系统对称性的摄动与绝热不变量;(3)Riemann-Liouville分数阶导数下广义Birkhoff系统Noether准对称性的摄动与绝热不变量;(4)变阶分数阶广义Birkhoff系统对称性的摄动与绝热不变量;(5)El-Nabulsi分数阶模型下广义Birkhoff系统Noether对称性的摄动与绝热不变量;(6)El-Nabulsi分数阶模型下Birkhoff系统Lie、Mei对称性的摄动与绝热不变量。
[硕士论文] 许媛
科学技术哲学 山西大学 2017(学位年度)
摘要:数学物理学关系一直以来就是科学哲学中的重要话题之一。目前物理学哲学界关于这一论题的讨论主要集中于经典力学、量子力学、广义相对论以及20世纪后半叶的场论、量子引力等领域的数学和物理学的关系,统计力学形成时期的研究则被大多数人所忽略。但事实上,统计力学形成时期的数学物理学关系有其自身不容忽视的特点,在整个数学物理学关系的发展史上具有重要历史地位,所以,本论文以牛顿力学为参考背景,以玻尔兹曼统计力学为主要研究对象,对统计力学形成时期的数学物理学关系进行了深入研究。论文包括导言、三章主体内容和结语。
  第一章,统计力学形成时期之前的数学物理学关系分析。本章从历史和理论两个角度厘清了统计力学形成时期之前数学和物理学的关系。首先从历史上考察统计力学形成时期之前的数学物理学发展概况;其次,分析统计力学形成时期之前具有代表性的牛顿力学体系中的数学和物理学的关系;最后,分析统计力学形成时期之前数学物理学关系整体的特点。论文表明此时期的数学和物理学受到自然哲学和思辨哲学的影响,既相互影响又共同成长。
  第二章,统计力学形成时期数学和物理学的发展状况。本章界定了统计力学形成时期的时间,考察统计力学形成时期数学与物理学的理论背景,从数学与物理学相互作用的角度上介绍统计力学形成时期的理论,为具体分析统计力学理论中的数学物理学关系做铺垫。
  第三章,统计力学形成时期的数学物理学关系及其特点。本章对统计力学形成时期的数学物理学关系进行具体探讨,指出这一时期的数学物理学关系与牛顿力学时期的数学物理学关系相比,有着自己明显的特点,主要受到哲学发展和数学物理学在19世纪各自分离的特色所影响。论文研究表明,在此时期的数学与物理学之间的相互影响依然重要,并分析了此时期的数学物理学关系具有的特点:第一,数学物理学思想的历史地位及其承上启下的作用;第二,数学物理学关系的平行而又统一的新特点;第三,以数学构造为基础的物理学研究方式的意义。
  结语指出,统计力学形成时期与其之前时期的数学与物理学生长环境的不同引起的两个时期数学与物理学的关系各自具有自己的特点。对于统计力学形成时期的数学物理学关系应被予以重视,论文从理论发展的历史和具体的特征两个角度来表明此时期数学物理学的关系及其特点。同时表明这一时期的物理学理论构造性的研究方式具有重要的意义和哲学研究的价值。
[硕士论文] 张俊
计算力学 大连理工大学 2017(学位年度)
摘要:有限元法无论在科学研究和工程设计中都有着非常普遍的应用。而作为其关键步骤之一的网格生成在有限元分析过程中有着相当重要的作用。其中,四边形网格由于在计算精度和收敛性等方面的表现较三角形网格更为突出,近年来得到越来越多的重视。
  文章首先对四边形网格生成的各种算法进行了简要介绍,然后提出了二维任意域离散中轴提取与子域分割算法。当给定区域的CDT网格之后,文章所给算法在线性时间内即可同时完成离散中轴提取和子域分割两步操作。且分割结果中四边形子域占优。值得一提的是,该算法不仅可以与映射法相结合对复杂二维区域进行四边形网格剖分,而且可用于街道分区布置、几何特征简化及邻近特征识别等领域。
  随后文章对Owen提出的Q-Morph算法做了详细的研究并对其做了若干改进。引入了活动前沿和非活动前沿的概念以简化前沿边的管理,并在侧边选取时增加了对边长的控制以避免狭长单元的产生。同时对算法中一些关键部分如前沿边选取、前沿缝合等给出了详细的算法步骤。通过一些算例的测试,表明文章给出的改进后的Q-Morph算法在二维平面和三维曲面四边形网格生成方面有良好的适应性。同时对四边形网格的优化进行研究,实现了常用的一些光顺算法,包括加权拉普拉斯算法、基于角度的光顺、基于优化的光顺等。而在拓扑优化方面,文章采用了节点增删及网格边翻转等策略,取得了良好效果。
  最后本文基于Web端开发了一套有限元前处理工具WebMesher。已实现CAD模型导入、网格剖分以及模型局部隐藏、云图绘制等一些辅助性的功能,初步具备了一定的实用性。相关工作作为对基于Web端应用开发的一次研究和探索,初步验证了力学行业相关软件从桌面端走向Web端的可行性。相关研究具有工程应用价值。
[硕士论文] 韦寒梅
应用数学 广西大学 2017(学位年度)
摘要:近年来,许多学者对奇异积分方程的研究取得了丰硕的成果,而奇异积分方程也在解决弹性理论和断裂力学等数学物理问题中发挥重要的作用.本文采用新的数值方法研究两类力学问题导出的奇异积分方程的近似解,并分析数值方法的收敛性和误差估计,通过数值实例且与其他方法比较,验证方法的可行性与有效性.主要内容有:
  (1)研究流体力学问题导出的一类弱奇异积分方程.首先对含有变系数的分数阶微分Bagley-Torvik方程进行积分处理转化为含有弱奇异核的第二类Volterra积分方程,然后利用Banach空间的压缩算子原理研究方程解的存在性和唯一性,给出对应的充分条件.接着对含有弱奇异核的第二类Volterra积分方程构造数值解,同时给出相应的收敛性分析和误差估计.最后计算含有变系数的分数阶微分Bagley-Torvik方程的近似解并且与其他方法进行比较,验证本文的方法.特别的,对于精确解为多项式函数的积分方程,本文的方法可以获得精确解.而当待求解的积分方程的精确解未知时,通过与经典的差分法比较表明,本文的方法依然有效.
  (2)研究断裂力学中十字裂纹问题导出的奇异积分方程.该奇异积分方程与一般的积分方程相比主要的区别就是它存在奇异点,为此本文采用修正的数值方法构造方程的近似解,通过引进权重参量ω提高近似解的精确度,给出修正的数值方法的误差及收敛性分析,并通过数值实例验证本文的方法.
  以上的研究充分体现了奇异积分方程在实际问题中的应用,并为解决力学与工程学等各类相似的问题提供理论方法.
[硕士论文] 王化斌
计算力学 大连理工大学 2017(学位年度)
摘要:本文基于自主知识产权的CAE软件平台SiPESC,开发模型修正模块和频响综合模块,并进行算例测试。
  模型修正,是利用实验数据对有限元模型进行修正,以获得更精准的有限元模型。本文开发的模型修正模块,采用基于优化思想的修正方法,修正过程调用 SiPESC.OPT(SiPESC通用优化模块)进行优化求解,关键在于创建模型修正的标准优化模型(由一系列设计变量和指标函数组成);该模块经过节点匹配、模态/频响匹配、相似度分析和指标函数计算,获得一系列设计变量和指标函数,进而创建模型修正的优化模型。进一步,该模块调用SiPESC平台的文件导入功能和SiPESC.FEMS(SiPESC有限元分析模块),实现有限元模型和实验数据的读取以及有限元分析,结合上述优化过程实现模型修正。
  频响综合,是利用子结构的频响函数综合得到整体结构的频响函数,以获得整体结构的动力学特性。频响综合模块主要是流程化的计算,核心在于子结构频响矩阵的获取和频响综合算法的实现。该模块通过用户界面操作定义子结构的激励点、响应点、连接关系和求解控制参数,调用 SiPESC平台的文件导入功能和 SiPESC.FEMS实现子结构模型的读取和频响分析。该模块针对频响综合设计了子结构集、子结构连接集、装配矩阵等数据类型,实现了GRC算法和MTC算法,从而完成子结构频响综合计算。
  通过含助推器火箭、螺栓连接板、开孔圆柱壳这3个算例,测试模型修正模块,测试结果说明程序能处理不同的实验数据、修正不同的结构参数;通过汽车模型和风电塔模型这2个算例,测试频响综合模块,测试结果说明程序能进行不同类型子结构之间的频响综合、能处理不同的子结构连接形式。这些算例验证了程序的正确性,说明本文开发的模型修正模块和频响综合模块具有丰富的功能和良好的工程实用性。
[硕士论文] 纪思源
工程力学 山东建筑大学 2017(学位年度)
摘要:常见的规则平面弹性问题大部分已得到广泛研究,然而在实际工程当中平面弹性问题不仅仅是在规则域上有所应用,在不规则域上亦应用广泛,例如拱形域、环形域、多边形域以及任意复杂形状的平面域,论文主要研究的是复杂区域的平面弹性问题。平面弹性问题可以归结为二阶耦合椭圆型偏微分方程的边值问题,弹性力学问题的数值分析,就是寻求分析椭圆形偏微分方程边值问题的数值解。对于任意复杂形状的不规则平面弹性问题,通常情况下很难得到其解析解,论文主要研究求解不规则区域上以位移为未知量的平面弹性问题的数值方法,称之为正则区域重心Lagrange插值配点法。
  对于直角坐标系下的不规则区域平面弹性问题,将不规则区域嵌入到规则的矩形区域,在矩形区域上将平面弹性问题的控制方程采用重心Lagrange插值离散,得到控制方程矩阵形式的离散表达式;在极坐标系下是将不规则区域嵌入到规则的圆形、扇形或圆环形区域,在规则区域上将控制方程采用重心Lagrange插值进行离散,得到控制方程矩阵形式的离散表达式。在不规则边界上利用重心Lagrange插值离散边界条件。规则区域可采用置换法施加边界条件,不规则区域可采用附加法施加边界条件,得到求解平面弹性问题的过约束线性代数方程组,采用最小二乘法进行求解,得到整个规则区域上的位移数值解。进而利用重心插值计算得到不规则区域内任意节点的位移值。数值算例验证了所建立方法的有效性和计算精度。
  提供的9个数值算例表明:重心Lagrange插值配点法及正则区域法的运用,可以有效地求解不规则平面弹性问题的位移解。重心Lagrange插值配点法具有以下优点:程序实施简单、节点适应性好、不需划分网格、计算精度高等。
[硕士论文] 张磊
工程力学 山东建筑大学 2017(学位年度)
摘要:弹性力学问题可归结为二阶耦合椭圆形偏微分方程边值问题。工程中遇到的大部分问题都难以得到其解析解。为求解弹性力学方程,工程实际中广泛采用数值求解技术。本文提出数值分析平面弹性问题的位移-应力混合重心插值配点法。将弹性力学控制方程表达为位移和应力的耦合偏微分方程组,采用重心插值近似未知量,利用重心插值微分矩阵得到平面问题控制方程的矩阵形式离散表达式。使用重心插值离散位移和应力边界条件,采用附加法施加边界条件,得到求解平面弹性问题的过约束线性代数方程组,应用最小二乘法求解过约束方程组,得到平面弹性问题位移和应力数值解。
  对于不规则区域的弹性力学问题,采用重心Lagrange插值正则区域法,将不规则区域嵌入规则区域,在规则区域上采用重心Lagrange插值近似未知函数。利用配点法强迫微分方程在离散节点处精确成立,得到规则区域位移-应力混合方程组。在不规则区域的边界上取若干节点,由规则区域内的重心插值插值节点的未知函数,得到一个边界条件的约束代数方程。将位移-应力混合方程的离散方程和边界条件的约束方程组合成一个新的过约束代数方程组,应用最小二乘法求解过约束方程组,得到平面弹性问题位移和应力数值解。
  本文提供的5个规则区域的数值算例和4个不规则区域的数值算例结果表明:重心Lagrange插值配点法和重心插值正则区域法的运用,可以有效的解决规则区域和不规则区域的平面弹性问题。重心Lagrange插值配点法不仅计算公式简单、节点适应性好、程序通用性强、而且计算精度非常高。
[硕士论文] 王书静
计算数学 郑州大学 2017(学位年度)
摘要:在有限元的数值求解过程中,对流扩散方程是流体力学邻域中一类重要的数学模型。大量的实际问题都表现出强烈的对流占优特征,对于对流占优问题,用传统的数值方法求解边界层出现数值振荡,学者们提出了一些稳定有限元法以达到消除数值震荡提高数值精度的目的,例如[5]针对无反应项的对流占优方程提到的有限体积法,流线迎风有限元法,间断有限元法等等。[2]中提出了一种解对流扩散反应方程的稳定化方法,主要针对对流占优的情况下且反应系数大的情形,[1]中作者设计了一个新的稳定化参数适应于反应项系数是零或者非常小的情况。在[1]中作者用线性元说明了此种稳定化的可行性。
  本文中,讨论在三角形单元上采用拉格朗日型二次插值多项式空间作为试探空间,因此用[1]中提出的稳定化方法要重新确定稳定化参数,其中的稳定化参数不仅依赖于扩散系数,对流系数,反应项系数和网格尺寸,还依赖于逆不等式中的常数C.进行误差分析给出误差范围,最后数值实验结果显示用稳定化方法后L2范数误差阶达到O(h3),H1范数误差阶达到O(h2),与理论结果一致。
[硕士论文] 宋明哲
工程力学 西北工业大学 2017(学位年度)
摘要:冯康先生最早提出了保结构算法的思想,他的科研团队发展丰富了辛几何算法并在解决Hamilton系统的系列问题中取得的许多具有影响力的成果,随着人们的广泛关注,辛算法的基本理论和在多领域的应用上的日趋成熟。Bridges,Reich,Marsden,Patrick,Shkoller等人将求解Hamilton常微分方程的辛算法的思想进行推广,针对Hamilton偏微分方程提出了多辛算法。如今,随着多辛算法的蓬勃发展,大量重要的偏微分方程都被证实可以运用多辛形式进行描述,并通过多辛算法进行数值模拟,比如:非线性Schr(o)dinger方程、Maxwell方程、KdV方程、广义Kadomtsev-Petviashvili方程、非线性波动方程、Zakharov-Kuznetsov方程,Sine-Gordon方程以及一些椭圆方程。
  本文基于Bridges和Reich从Hamilton力学角度提出的多辛方程和多辛结构的理论基础,针对无限维Hamilton动力学系统,以低维波动方程为例,构造了其相应的多辛结构,得到并验证了其多辛守恒律以及局部能量和动量守恒律,这些守恒律均能较好地反映出系统方程的守恒性质并避免边界条件给算法适用性带来的影响。在此基础上,对Preissmann多辛离散格式在一维和二维多辛Hamilton偏微分方程上的具体情形进行了讨论,验证了离散多辛守恒律。对两类无限维动力学系统Sine-Gordon方程和KdV方程进行了多辛格式的构造,并通过计算机仿真,对这两种偏微分方程存在的孤子解进行了数值模拟,从模拟结果可以看出,本文中构造的多辛格式能够较好地模拟出Sine-Gordon方程和KdV方程的相关解且具有较高的精度,验证了多辛算法在处理无限维动力学系统时具有的有效性和良好的长时间数值稳定性,为保结构算法在无限维动力学系统上的实践和应用提供了参考。
[博士论文] 郭晓峰
计算力学 大连理工大学 2016(学位年度)
摘要:比例边界元法(SBM)是90年代提出和发展起来的一种半解析数值方法。该方法在求解无限域或者有奇异性的问题方面较有限元法更有效率,只需在边界上进行离散而与边界元法相比又不需要基本解。目前,比例边界元法已经有了很大的发展与应用,但是还没有比例边界元法关于粘弹性问题的研究报导,而在工程中经常要涉及到材料的粘弹性力学分析。比例边界元法在形成刚度矩阵时需要求解一个特征值问题,会导致计算量较大;涉及时域的粘弹性问题或反演计算等需要多次求解方程组,也将导致计算时间的不断累积。因此,较大的计算时间消耗是影响该方法进一步应用的一个重要原因。本文以周期旋转对称结构为背景,以二维弹性/粘弹性问题和稳态热传导问题为研究对象,利用这类结构的周期旋转对称性,提出相应的分块算法,将原问题解耦,降低了求解规模,从而提高了无网格伽辽金比例边界元法(EFG-SBM)求解的计算效率。
  本研究主要内容包括:⑴证明了周期旋转对称结构的EFG-SBM二维线弹性问题的特征值方程和系统方程的系数矩阵在引入坐标转换矩阵进行一次变换之后都是块循环的,进一步提出一种分块算法,将特征值方程和系统方程都解耦为一系列子问题独立求解,从而提高了计算效率。⑵证明了周期旋转对称结构的EFG-SBM二维稳态热传导问题的特征值方程和系统方程的系数矩阵都是块循环的,提出一种分块算法,将二维稳态热传导问题的EFG-SBM特征值方程和系统方程都解耦为一系列子问题独立求解,从而提高了计算效率。⑶提出一种基于EFG-SBM的时域分段自适应算法求解二维粘弹性问题。该算法将时空耦合的粘弹性问题转换成一系列递推的边值问题,在边值问题的求解中,可充分利用EFG-SBM半解析的优点,在时域可进行自适应计算以保证时域的计算精度,对蠕变和松弛分析都能够有效方便地实现。⑷对周期旋转对称二维粘弹性问题,提出一种递推的分块算法,将相应的特征值方程和系统方程都解耦为一系列子问题分块递推求解,提高了计算效率。
[硕士论文] 董凯骏
计算力学 大连理工大学 2016(学位年度)
摘要:随着现代工程技术的发展,新材料和新结构形式的大量应用,传统的线性有限元分析已经不能适应工程数值分析的需要,而计算机硬件性能的快速提升,为非线性有限元方法在实际工程问题中的大规模应用提供了必要条件。非线性有限元分析目前已经广泛应用于机械、土木、航空航天、岩土等众多工程领域,成为其中不可或缺的分析手段之一。
  非线性有限元分析软件分为专用和通用两大类。专用软件适用于某些具体行业和问题,通用软件则具有丰富的单元和本构类型,适用于多个工程领域。目前国外的通用软件已经非常成熟,比如ABAQUS,ANSYS等,但我国在通用软件方面与国外差距较大,目前只能使用国外软件或者进行相当有限的二次开发,这对于提升我国制造业的核心竞争力是十分不利的。
  本文基于开放式有限元系统SiPESC.FEMS实现了隐式非线性有限元的通用程序框架,程序框架设计基于SiPESC平台的插件+微核心设计模式和大规模工程数据库SiPESC.ENGDBS。本文给出了一系列单元列式、材料本构以及增量-迭代的算法理论与程序实现过程,并通过工厂模式以及多态机制实现了其动态添加和组合。本文所实现的算法目前广泛应用于大型商用有限元软件中,经过了大量工程算例的检验,具有很高的应用价值,也是非线性有限元分析软件的核心技术所在。基于本文实现的程序框架,开发完成了如下分析功能:
  (1)单元列式:几种三维连续体单元,具有几何大位移/大应变分析能力,其单元技术(如平均体应变技术、F-Bar技术)可以处理大应变下近似不可压缩的变形问题。
  (2)材料本构:几种工程上广泛采用的大应变超弹性(近似不可压缩Neo-Hookean模型)、弹塑性(Mises等向强化模型)和弹黏塑性(Pierce/Perzyna模型)材料。
  (3)增量-迭代算法:用于跟踪平衡路径的弧长控制算法,以及一系列提高收敛性的技术(自动增量步控制,自由度预测,线搜索)。
  本文通过一系列具有一定工程意义的数值算例(非线性后屈曲问题,大应变材料单轴试验模拟等)与目前广泛应用的国外大型商用软件ANSYS与ABAQUS的结果对比,验证了本文实现的分析功能的计算结果的正确性,以及所研发的隐式非线性有限元软件框架的分析能力。
[博士论文] 卞正宁
结构工程 湖南大学 2016(学位年度)
摘要:本文在总结以往学者在弹性力学及流体力学有限元方法的基础之上,提出了基于分区伽辽金方程的变分方法。针对常规有限元方法导致弹性力学应力精度下降的问题,提出了一阶有限元改进算法。针对不可压Navier-Stokes方程求解的困难,提出了不含压力项的一阶流体动力学方程系统。并对高雷诺数下高质量比圆柱涡致振动现象进行了数值模拟和分析。本文主要包括以下一些工作:
  (1)提出了分区伽辽金方程,放松了分区交界面上位移、应力连续的条件。分析了弱形式降低连续性的现象。建立了基于分区伽辽金方程(分区加权残数法)的求解体系,为构造各种单元,特别是拟协调元、杂交元提供了理论基础。对于弹性力学问题,在统一的构架下,基于分区伽辽金方程,导出了分区弱形式、分区广义虚功方程和分区变分原理。分析了积分形式解的组成模式。提出了选取权函数要满足的条件。基于分区伽辽金方程的变分方法为其后的一阶有限元方法提供了理论依据。
  (2)将一阶有限元方法应用到二维、三维弹性力学问题中。首先推导了弹性力学问题的一阶弱形式,然后使用FreeFem++软件完成有限元编程工作。并且采用典型算例来比较一阶算法和常规有限元算法的精度。通过数值算例,验证了一阶有限元方法使应力精度与位移精度同阶,应力的精度得到了提高。同时数值计算的结果还表明采用一阶算法,达到相同的应力精度,比常规有限元法花费的时间要少。一阶有限元算法为有限元应力精度的提升提供了一个新的思路。
  (3)介绍了不可压Navier-Stokes方程,介绍了特征线分裂算法,并编程将其用于二维圆柱绕流的计算模拟。并将一阶有限元解法应用到不可压粘性流体计算中。对于不可压粘性流动,提出了不含压力项的一阶流体动力学方程系统。基于有限元方法,对应力和速度采用同阶插值,对两平行平板间的稳态粘性流动及二维非定常圆柱绕流进行了数值计算,并分别和精确解以及标准测试算例进行对比。采用有限元方法对提出的不含压力项的一阶流体动力学方程系统进行求解,可以对应力和速度采用同阶插值,从而可以避免Navier-Stokes方程求解过程中反复使用速度导数而导致精度下降的问题。
  (4)研究了高雷诺数下高质量比圆柱的涡致振动问题。对所使用的流体SST湍流模型理论以及一些相关的参数做了详细的介绍。采用基于伽辽金最小二乘有限元法的CFD计算软件,通过使用质量-弹簧-阻尼系统以及SST湍流模型进行了流固耦合数值模拟。流固耦合分析结果与文献试验结果基本吻合,验证了采用的流固耦合计算方法的正确性。从而可以为该类问题的数值模拟提供参考。数值模拟的结果表明:在计算边界层由于强烈逆压梯度而引起的分离流动问题时,采用SST湍流模型是比较合适的;并且,在高雷诺数下,高质量比圆柱会出现高幅分支现象,从而为该类工程问题的研究提供参考。
[博士论文] 李昊辰
数学;计算数学 南京师范大学 2016(学位年度)
摘要:一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下:
  Ⅰ.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.
  Ⅱ.研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.
  Ⅲ.基于根树和B-级数理论,给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.证明了新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.
  Ⅳ.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,在空间用Galerkin有限元方法,时间用Crank-Nicolson格式离散,则得到一个同时保能量和质量的格式.对二维NLS方程,空间用Galerkin谱元法,时间用Crank-Nicolson格式离散,得到一个同时保能量和质量的格式.而对Klein-Gordon-Schr(o)dinger方程空间用Galerkin方法,时间用辛St(o)mer-Verlet方法离散,得到一个显式辛格式.对自旋为1的Bose-Einstein凝聚态(BEC)中耦合Gross-Pitaevskii(GP)方程,空间用Galerkin方法,时间用隐中点辛格式离散,则得到一个新的同时保系统辛结构,质量和磁场强度的格式.对自旋轨道耦合的BEC中耦合GP方程离散,空间用Galerkin方法,时间用Crank-Nicolson格式,得到的新格式可以同时保能量和质量.我们做了数值实验验证理论结果.
[硕士论文] 程胜华
工程力学 南昌大学 2016(学位年度)
摘要:Eshelby夹杂问题是连续介质力学和弹塑性力学中历久而弥新的研究课题,是复合材料细观力学的基本问题。经典的Eshelby夹杂问题只限于求解无限域内椭圆形夹杂的问题,然而在实际问题中夹杂形状大多都不是椭圆,真实的物理域大部分不能用无限域来近似。对于非椭圆异质问题,理论上的求解更是困难重重。本文基于ANSYS有限元平台,对非椭圆夹杂及异质问题作了详细的数值研究,主要内容如下:
  1、对于无限域Eshelby夹杂问题,采用有限元方法计算了若干多边形夹杂的扰动弹性场,并与导师得到的理论解析解进行了对比验证;
  2.、对于有限域Eshelby夹杂问题,采用有限元数值方法计算了圆域内正方形夹杂和偏心圆形夹杂的扰动弹性场,并与导师邹文楠教授得到的理论解析解进行了对比验证;
  3.对于非椭圆异质问题(即第二类Eshelby问题),基于ANSYS平台用有限元方法计算得到了多边形异质问题的数值解。同时模拟了同样构型的远场加载问题,用数值方法证实了两类问题的等价性。
  本文对非椭圆夹杂Eshelby问题进行了拓展研究,通过若干数值算例及与理论解析解的对比证实了有限元方法在处理 Eshelby夹杂问题中的有效性。对于第二类Eshelby问题,通过ANSYS有限元数值方法证实了它与同样构型的远场加载问题的等价性。
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