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[博士论文] 李然
基础数学 大连理工大学 2018(学位年度)
摘要:函数空间上的算子理论是算子理论的一个重要分支.它的核心问题是算子和算子代数自身的性质可以反映出它的符号函数的性质,而反过来利用符号函数的性质也可以刻划算子和算子代数的性质.本文主要研究Toeplitz算子代数的稠密性问题以及一类特殊算子的紧性问题.同时还对Hardy空间和Bergman空间上的Toeplitz算子的复对称性做了相应的研究.本文结构如下:
  第一章介绍函数空间上算子理论的研究背景,总结Toeplitz算子的代数性质,例如交换性,紧性及稠密性等.同时还介绍了复对称算子的一些研究背景和性质.
  第二章定义了(m,λ)-Berezin变换,并且研究了它的基本性质.给出了(m,λ)-Berezin变换是一一映射.
  第三章利用(m,λ)-Berezin变换,在多圆盘加权Bergman空间上在一定条件下可以用Toeplitz算子去逼近有界线性算子.紧接着,发现了一类有界算子,它在不需要任何条件的情况下就可以用以它的(m,λ)-Berezin变换为符号的Toeplitz算子去逼近.同时利用(m,λ)-Berezin变换去刻画了这类算子的紧性.最后定义了算子和函数的径向化,并得到了径向化与(m,λ)-Berezin变换的关系.
  第四章介绍了Hardy和Bergman空间上Toeplitz算子的复对称性.证明了Hardy空间上以复对称算子的Berezin变换为符号的Toeplitz算子关于同一个共轭算子仍然是复对称的,但是在Bergman空间上却不同.
[硕士论文] 耿密
数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:近年来,许多学者相继研究了解析函数的新子类并探究它们的相关性质.1999年,Silverman在文献[22]中定义了函数类Gb,并给出了Gb的包含性质.此后Obradovic和Tuneski在文献[19]和[25]中对Silverman的结果做出了改进.1993年,Mocanu在文献[11]中定义了函数类M(α).2015年,Nunokawa在文献[18]中推广了函数类M(α),得到新函数类M(α,β)并研究该新函数类强星像性的阶.特别地,M(α,1)=M(α).1973年,Janowski利用Schwarz函数定义了从属关系,并利用从属关系定义了一系列解析函数的子类后,广大学者们也利用从属定义不同的函数类并研究新函数类的相关性质.2016年,Aouf,Mostafa和Zayed在文献[2]中引入了两个亚纯函数子类并研究了这些子类的卷积性质、系数估计、包含性质.2017年,H.M.Srivastava,P.Sharma和R.K.Raina在文献[24]中考虑了与分数次微积分算子有关的解析函数类并讨论了它们的包含性质.
  受到以上启发,本文根据Dziok-Srivastava线性算子、Bessel算子、星像函数和凸像函数的理论定义了新函数类M(α,β,δ)、Sα1μ,H[η;A,B]、Kα1μ,H[η;A,B]、∑Sv(λ,φ)、∑Cv(λ,φ,ψ)和∑Rv(λ,γ,φ,ψ),并讨论了这些新函数子类的一些相关性质.
  本文主要分为两个部分:
  第一部分介绍了星像函数、凸像函数、强星像函数、从属、Hadamard卷积、Dziok-Srivastava算子、Bessel算子等概念及文章中所需要的引理,并定义了一些新函数子类.
  第二部分详细地研究了这些函数类的一些性质,如强星像性阶、卷积性质、系数估计、包含性质等.
[硕士论文] 于均伟
数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:近年来对几何算子的特征值研究已经成为研究流形上几何和拓扑的一个非常有力的工具。2002年Perelman在Ricci流的研究中开创性的引入了F熵泛函和W熵泛函,它们在庞卡莱猜想的证明中起到关键作用。这两种泛函的下界和几何算子特征值紧密相关,对它们的研究激起了众多研究者们关于几何流下几何算子特征值问题的研究兴趣,特别是沿着Ricci流几何算子的特征值的研究。在本文中,我们主要研究与Perelman型F泛函和W泛函相关的几何算子特征值沿着Ricci流和Ricci-Bour guignon流的单调性问题。
  本文的结构安排如下:
  第一章,给出本文需要用到的一些黎曼几何基本概念和公式,以及Ricci流和Ricci-Bourguignon流的一些基本理论。
  第二章,我们在紧致黎曼流形上考虑Ricci流方程。首先,从Perelman的W泛函定义一个几何算子□,其中□f=-△φf+af ln f+cRf,并得到它沿着Ricci流的发展方程;其次,考虑Ricci流耦合到一个热方程的系统,得到在这个系统下特征值的发展方程,并证明特征值的单调性;最后,研究规范化Ricci流,得到几何算子□的特征值沿着规范化的Ricci流下的发展方程及单调性。
  第三章,我们在紧致黎曼流形上考虑Ricci-Bour guignon流,这是一个结合Ricci流和Yamabe流的方程。我们分别研究了在Ricci-Bourguignon流和规范化Ricci-Bourguignon流下几何算子-△+cR特征值的发展方程和单调性。
[硕士论文] 荣宇音
数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:1982年,波兰数学家Z.Pawlak为了处理不精确、不确定与不完全数据,提出了粗糙集理论.近几年来,这一理论在机器学习、知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面得到了广泛应用.后来人们将粗糙集理论的核心概念进一步推广,得到了广义近似空间与抽象知识库等理论.对这新的理论进行深入研究具有重要的理论意义和应用价值.
  对于广义近似空间,本文进行了拓扑式研究.首先,利用关系开集的概念诱导了广义近似空间的关系拓扑,利用关系拓扑定义了广义近似空间的多种分离性及拓扑紧性,获得了广义近似空间多种分离性间的诸多关系,证明了广义近似空间的关系紧性强于拓扑紧性.其次,对广义近似空间之间的映射引入并刻画了粗糙连续性和拓扑连续性,探讨了它们的性质及相互关系,证明了每个粗糙连续映射都是拓扑连续的.在此基础上本文还引入了粗糙同胚和拓扑同胚性质的概念,考察了广义近似空间的诸如分离性、连通性、紧性等的粗糙同胚不变性和拓扑同胚不变性,证明了拓扑同胚性质均为粗糙同胚性质.最后,证明了以广义近似空间为对象,以粗糙连续映射为态射形成一个范畴(称为广义近似空间范畴).借助于广义近似空间上的二元关系定义了广义近似空间的关系积空间,考察了几个广义近似空间的有限可乘性质,证明了广义近似空间的关系积即为广义近似空间范畴的范畴积.这些工作丰富了广义近似空间理论,为研究和区分广义近似空间提供了新的方法和途径.
  对于抽象知识库,本文提出了新的约简概念并进行了深入研究.首先,借助于区分矩阵获得了计算抽象知识库核的方法.其次,引入了抽象知识库的并约简及并饱和约简的概念,研究了并约简与并饱和约简在特定条件下的关系;证明了有限论域上的抽象知识库存在唯一的并饱和约简,同时给出了求并饱和约简的具体算法.最后,考察了抽象知识库的特例及其性质,并给出了一些简单应用.
  本文共分为五章.第一章是引言与预备,简单介绍写作背景及预备知识.第二章研究广义近似空间的关系拓扑及相应分离性与紧性.第三章研究广义近似空间的粗糙连续映射、粗糙同胚性质等.第四章定义并研究了广义近似空间的关系积空间和广义近似空间范畴.第五章研究了抽象知识库的并饱和约简并给出了相应算法及应用.
[硕士论文] 唐甜甜
数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:自从S.Ruscheweyh[26]定义了解析函数的Ruscheweyh导数之后,许多学者相继研究了与Ruscheweyh导数有关的单叶或多叶解析函数类.
  1975年,S.Ruscheweyh给出了单叶函数的一些新准则.继而1997年,S.Kanas和H.M.Srivastava在文献[13]中结合S.Ruscheweyh的结果,阐述了函数的单叶性准则.2015年,E.Deniz和H.Orhan在文献[4]中定义了解析函数类A,结合Ruscheweyh导数进一步研究,给出了单叶性的充分条件.同时,对于文中定义的积分算子Fβ(z),得到一些新的、更简单的条件.2016年,H.M.Srivastava、P.Sharma和R.K.Raina在文献[30]中定义了解析函数类Am以及一些新的函数类Sv,nλ(η,φ)、Cv,nλ(η,φ,ψ)等,并研究了这些新定义函数类的包含关系,所得结果推广了S.Owa,S.Ruscheweyh等人的结论.
  受到以上启发,本文定义了亚纯函数类∑m和p叶解析函数类Ap,结合Ruscheweyh导数算子,讨论函数类的包含关系和单叶性准则.
  本篇论文由以下三部分组成,各个部分的主要内容是:
  第一部分引言及预备知识,介绍了本文研究所用的基本概念和三个引理,并定义了一些函数类.
  第二部分函数类的包含关系,这部分主要应用引理1和引理2讨论了文中定义的函数类Av,nλ(ε,φ),Bv,nλ(ε,φ,ψ)和Ev,nλ(ε,γ,φ,ψ)的包含关系.
  第三部分单叶性准则,利用引理3,讨论积分算子Fβ(z)单叶性的充分条件.
[硕士论文] 王丽
数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:本学位论文主要研究了算子代数上映射的局部性问题,涉及yon Neumann代数和C*-代数上的2-局部导子和弱2-局部导子问题的研究.全文分为四章:
  第一章是引言.本章主要介绍了本文的研究背景,相关问题的研究现状和进展,提出了本文要讨论的问题和主要研究成果.
  第二章是预备知识.本章主要给出了本文所涉及到的一些基本概念.
  第三章主要是研究von Neumann代数上的逼近弱2-局部导子问题.首先引入逼近弱2-局部导子的概念,讨论了逼近弱2-局部导子的相关性质,最后证明了有限von Neumann代数上的每个逼近弱2-局部导子都是一个导子,并将此结果推广到某些C*-代数上去.
  第四章主要是研究von Neumann代数到其对偶双模上的2-局部导子问题.首先证明了具有可分预对偶的交换yon Neumann代数和可分Hilbert空间H上的有界线性算子全体B(H)到其正规对偶双模上的每个2-局部导子都是一个导子.最后证明,若I-型vonNeumann代数不含无限中心直和项,则到其正规对偶双模上的每个2-局部导子都是一个导子.
[硕士论文] 解小芸
应用数学 东北林业大学 2018(学位年度)
摘要:在描述自然现象的偏微分方程中,经常含有一些待确定的未知参数,如导热系数、扩散系数等等,人们通常没有专业仪器测量这些系数,只能通过测量偏微分方程在若干点处的解以及初边值条件若干点处的值来估算偏微分方程中的这些未知参数,这就是偏微分方程参数估计问题。偏微分方程参数估计问题是偏微分方程反问题里的一个经典问题,应用领域十分广阔,来源于各种实际背景,吸引了国内外各个领域的专家学者的讨论研究。
  本文以二维二阶常系数双曲型和抛物型方程为研究对象,将多元线性回归分析中的最小二乘估计方法和岭估计方法,分别结合数值差分理论,给出两种在已知采样数据和模型类型的条件下的二阶常系数偏微分方程的参数估计方法。
  首先,分别用最小二乘估计方法和岭估计方法对二维二阶常系数双曲型方程的参数做估计,并将这两种估计方法得出的参数估计值进行比较。数值模拟结果表明,步长h1和h2满足某种关系时(这种关系是由双曲型方程自身决定的),给出的基于最小二乘估计的二维二阶常系数偏微分方程的参数估计方法可以估算出二维二阶常系数双曲型方程的参数;在某些特定的步长组合下,给出的基于岭估计二维二阶常系数偏微分方程的参数估计方法可以提高二维二阶常系数双曲型偏微分方程参数估计的精确度。
  其次,又分别用最小二乘估计方法和岭估计方法对二维二阶常系数抛物型方程的参数做估计,同样将这两种估计方法得出的参数估计值进行比较。数值模拟结果表明,步长h1和h2满足某种特定关系时(这种关系是由抛物型方程自身决定的),给出的基于最小二乘估计方法的二维二阶常系数偏微分方程的参数估计方法可以估算出二维二阶常系数抛物型方程的参数;在步长h1和h2不满足某种特定关系时,岭估计方法对二阶常系数抛物型方程参数估计效果较好,可以大幅提高二阶常系数抛物型方程参数估计的精确度。
[硕士论文] 阮珍
应用数学 广西大学 2018(学位年度)
摘要:周期事件触发控制策略作为目前事件触发控制普遍采用的方法,既能减少数据的发送次数,又能避免Zeno现象.其缺陷是:忽视了相邻采样时刻间的系统信息,从而可能导致控制性能下降.为改善事件触发受控系统闭环性能,本论文提出了新型非周期事件触发控制策略,通过增加事件条件的参数自由度,以及实施二阶段周期事件检测手段,旨在提供设计者在闭环性能和减少数据发送量上进行折中平衡.值得注意的是,非周期事件触发控制下的闭环系统是一类状态依赖的切换系统,具有典型的混杂结构特征.另一方面,时滞脉冲系统是另一类状态在离散时刻跳变的无限维混杂系统,其时滞依赖的稳定性问题一直没有得到很好的解决.针对上述两类混杂系统,本文提出了依赖系统结构的分段时变Lyapunov泛函分析方法.该方法能充分考虑混杂系统中的连续动态和离散动态的耦合机制,并能更准确有效地描述系统中各参数对系统稳定性和性能的影响.基于所提出的分段时变Lyapunov泛函分析方法,设计了非周期事件触发控制机制,并建立了时滞脉冲系统与时滞相关的稳定性和L2增益判据.本文取得的主要结果如下:
  (1)提出了基于一般二次函数的非周期事件触发控制策略.通过引入一般二次函数增加了事件条件的自由度,针对闭环系统的切换结构特征,构造分段时变Lyapunov泛函,利用矩阵不等式技术,建立了相应触发机制下,闭环系统指数稳定及有限L2增益的充分条件.同现有结果相比,在保证系统具有一定L2增益性能的前提下,文中方法能更有效地减少采样数据的传输次数.
  (2)提出了二阶段周期事件触发的输出反馈采样控制策略.在事件触发机制分析的基础上,引入两个周期参数h1和h2,来增加事件触发条件的自由度.其中,h1为采样周期,h2为检测周期.在新的事件触发控制框架下,闭环系统是一个多模态切换系统,对有/无网络时滞情况,利用切换时变Lyapunov泛函进行稳定性分析,基于一组线性矩阵不等式(LMIs),建立了二阶段周期事件触发策略的控制机制.数值仿真例子表明文中提出的触发控制策略在保证一定的闭环稳定性的同时,能有效降低数据传输量.
  (3)针对时滞脉冲系统,提出了分段时变离散化Lyapunov泛函分析方法.为避免脉冲型Newton-Leibniz公式带来的复杂性.本论文构造了时间依赖的完备Lyapunov泛函,与连续时滞系统的完备Lyapunov泛函不同,其引入了时变加权因子来协调该泛函的非时滞项和积分项.进一步地,通过对脉冲区间和时滞区间实施等间距剖分,得到该Lyapunov泛函离散化的形式.运用该泛函,并结合一系列的分析技巧,基于线性矩阵不等式,给出了系统指数稳定和具有有限L2增益的充分条件.定量揭示了时滞大小与脉冲区间对系统性能的影响.数值算例表明增加时滞区间与脉冲区间的剖分次数,能显著地降低结果的保守性.
[硕士论文] 陈亚汝
应用数学 扬州大学 2018(学位年度)
摘要:平面非线性微分方程定性理论有两大基本问题,即中心焦点和极限环问题.其中中心焦点的判定问题又是极限环问题研究的前提和基础,因而有关对中心焦点和极限环问题的研究就构成了数学的一个独立分支.在对自治系统解的定性性态的研究发展中,有一个与解决Hilbert第十六问题密切联系的问题,也就是对多项式系统中心焦点问题的研究.至今,很多方法都被尝试,但也只有二次多项式系统和一些特殊三次多项式系统的中心焦点问题被解决,而一般三次及更高次多项式系统的中心焦点问题还没有完全解决.
  在本文中我们采用了Poincaré方法分别研究了五次周期微分方程dr/dθ=r3(P2(cosθ,sinθ)+P4(cosθ,sinθ)r2),和四次周期微分方程dr/dθ=r2(P1(cosθ,sinθ)+rP2(cosθ,sinθ)+r2P3(cosθ,sinθ)),(这里Pn(cosθ,sinθ)=∑i+j=nPijcosiθsinjθ,Pij为实数n=1,2,3,4;i,j=0,1,2,3,4)以r=0为中心的条件,即这些多项式微分方程何时在r=0附近由周期解包围.并由此得出了与它等价的平面多项式微分系统{(x)=-y+x(P2(x,y)+P4(x,y)),(y)=x+y(P2(x,y)+P4(x,y)),(1){(x)=-y+x(P1(x,y)+P3(x,y)),(y)=x+y(P1(x,y)+P3(x,y)),(2){(x)=-y+x(P2(x,y)+P3(x,y)),(y)=x+y(P2(x,y)+P3(x,y)),(3)及{(x)=-y+x y(P1(y)+P2(x,y)+P3(x,y)),(y)=x+y(P1(x,y)+P2(x,y)+P3(x,y)),(4)以(0,0)为中心的必要条件.同时我们利用Alwash-Lloyd方法,证明了对于微分系统(1)(2)(3)所得必要条件也是充分的,即当这些条件成立时系统(1)(2)(3)以(0,0)为组合中心.另外我们关于微分系统(4)中心的研究结论推广了Alwash的相应结果.
[硕士论文] 杨琼
应用数学 兰州交通大学 2018(学位年度)
摘要:生物神经系统是由许多单一神经细胞彼此连接构成的一个大型的非线性动力系统.当生物体的内外环境发生变化时,生物神经系统就会通过神经元不同的放电模式对信息进行编码和传递.本文以几类神经元模型为研究对象,借助非线性动力学理论、生物神经系统动力学理论及计算机仿真手段,分析了几类神经元模型丰富的动力学特性,并通过控制参数,找出符合实际情况的神经元系统放电区域,进一步达到控制神经元系统稳定区域的目的.本论文主要工作如下:
  第一,简述了三维HR神经元模型,从理论的角度分析了HR神经元模型中参数变化对HR神经元模型平衡点数目及稳定性的影响.借助Shilnikov定理得到HR神经元模型出现混沌吸引子的外电场激励临界值.借助Hopf分岔理论验证了Hopf分岔的存在性并计算出HR神经元模型产生Hopf分岔的参数临界值.从数值模拟的角度,借助计算机软件模拟出HR神经元系统的单参数分岔图、双参数分岔图、Lyapunov指数图、时间响应图与相图,验证了上述理论结果的正确性并更为直观的描述了HR神经元模型复杂的信息编码过程.
  第二,以eHR神经元模型为研究对象,从理论角度分析了eHR神经元模型中系统参数对eHR神经元模型平衡点数目及稳定性的影响,利用Hopf分岔理论推导出eHR神经元系统产生Hopf分岔的条件.借助计算机软件模拟出eHR神经元模型的单参数分岔图、双参数分岔图、相图、时间响应图、最大Lyapunov指数图,更加准确地说明了混沌吸引子和Hopf分岔的存在性,为eHR神经元模型的参数选取提供了帮助.
  第三,简要介绍了耦合eHR神经元模型,讨论了耦合强度变化对耦合eHR神经元模型复杂转迁过程的影响.利用模式分解法推导出耦合eHR神经元系统完全同步的充分条件,并通过数值模拟的方法验证了上述理论结果,若耦合强度大于某一临界值,则耦合的eHR神经元系统将会始终保持完全同步状态.因此,我们可以通过控制耦合强度的大小,对耦合eHR神经元模型实现同步控制,进一步为神经元集群运动的研究提供了重要的参考.
[硕士论文] 张星星
基础数学 兰州交通大学 2018(学位年度)
摘要:在生物神经网络和人工神经网络中时滞是不可避免的,因为生物系统中神经元之间的信息传输速度以及电路系统中放大器的开关速度都是有限的。研究者发现时滞的存在常会导致神经元网络系统的平衡点失去原有的稳定性,从而破坏它的网络性能。时滞神经网络在模式识别和人工智能等领域的广泛应用,使得对其动力学的研究在学术界掀起了一片热潮。即使在最简单的时滞动力学系统中,也可能会产生诸如周期、概周期振荡以及混沌响应等复杂的动力学行为特征,所以,时滞神经元系统是非常复杂的非线性动力学系统,而且对于它的研究涉及多门学科、多个领域,具有很高的科学研究价值和实际意义。
  本文研究了两类时滞神经元系统的平衡点稳定性问题,并且推导出了这两个模型发生Hopf分岔的相关条件,最后用Matlab进行了数值模拟。主要研究的内容如下:
  1.绪论。本文第一部分简要介绍了选题的背景、模型的发展、研究现状和本篇文章主要研究的两类神经元网络系统——修改的HR、FHN时滞神经元系统模型。
  2.基础知识储备。介绍了本文用到的主要定理、引理和相关结论:Routh-Hurwitz定理、指数多项式的零点分布定理、四次方程根的分布、中心流行定理。
  3.本文所研究的第一个网络模型是修改的HR时滞神经网络模型。首先在原有研究的基础上加入两个时滞得到了一个新的时滞系统,分析其非负平衡点的存在性和稳定性情况;其次,先找出Hopf分岔存在的前提条件,再结合中心流形定理、应用规范化理论求得Hopf分岔的性质:分岔周期、方向和周期解的稳定性等;最后用Matlab进行数值模拟,从图像我们可以观察到:随着时滞的变化,时滞模型平衡点的稳定性发生了很大的改变,因此,时滞的加入确实改变了系统的动力学特性,验证本章所得的一些结论。
  4.本章基于Anderson Hoff等提出的耦合FHN模型,同样加入两个时滞得到一个新的时滞系统。在讨论本章的Hopf分岔问题时,首先用与第三章相同的方法得出平衡点处拟特征方程根的分布,根据分布情况来研究它的稳定性、Hopf分岔;接下来,通过相关的定理求出Hopf分岔的周期、方向和分岔周期解的稳定性的相关表达式;最后用Matlab进行数值仿真,选取具有代表性的图来印证所得的结论。文章中处理两个方程的方式不同:第一个时滞神经元系统的微分方程是一个三阶非线性微分方程较另一个简单些,通过观察可以直接得到非线性项,然后做代换计算,从而得到结论。第二个系统的微分方程是一个四阶非线性微分方程,本章比较麻烦的是判断拟特征方程是否存在正实根,计算时得出了一个八次方程,代换之后可以得到一个一元四次方程,通过分析该四次方程对应导数的根的分布,从而给出该四次方程有正实根的条件。
[博士论文] 谢林林
计算数学 大连理工大学 2018(学位年度)
摘要:现如今,反问题的研究已经渗透到数学、物理、工程等各个领域.由于反问题在应用中的重要性,其理论在过去几十年中得到了广泛的发展.微分方程中的系数项通常与被建模的系统的物理属性相关.在简单的情况下,这些物理属性可以直接从实验所获得的数据中识别出来.在复杂情况下,难以或不可能直接测量与模型方程中系数相关的物理属性,只能通过间接测量与解相关的数据或附加信息来确定微分方程中的系数,这种问题称为微分方程系数重构问题.
  本文主要研究了微分方程系数重构问题中的两类问题:
  第一类是将曲线或曲面视为待定系数的微分方程的解,通过离散数据点重构满足要求的微分方程的系数.曲线曲面造型和设计中的传统方法可以构造出光滑且高精度的曲线和曲面.但是,在许多应用中,曲线和曲面不仅需要满足几何设计的要求,而且还需要满足一些与切矢条件相关的物理特性.为了达到此要求,本文选择基于离散数据点或离散数据点及切矢来重构一阶线性微分方程,进而用该方程的解去表示曲线或曲面.
  第二类是基于附加条件的抛物型微分方程系数重构问题.抛物型微分方程系数重构问题已成为近年来国内外的研究热点领域之一.虽然在这方面已有很多研究成果,但在理论及数值算法上还有许多问题需要深入研究.特别对抛物型微分方程中多个系数重构问题的研究尚不充分.本文考虑了两个同时确定抛物型微分方程中两个系数的问题.
  本文主要工作如下:
  1.基于离散数据点或离散数据点及切矢信息重构一阶微分方程,使得该微分方程的解曲线或曲面能够拟合这些数据点或数据点及切矢.为了便于曲线或曲面表示,需要考虑具有显式解的微分方程.
  (1)第二章讨论了基于给定离散数据点重构一阶线性常系数微分方程的反问题.在曲线或曲面拟合和逼近中,若数据点对应的参数选择不当会造成拟合或逼近精度较差,为了避免曲线拟合和逼近中的参数化所引起的这类问题,提出了基于给定离散数据点的法向量重构微分方程系数矩阵的模型和相应的算法,并对算法进行了理论分析:已知解曲线上若干精确的数据点,当这些数据点组成的集合“不退化”时,由本章的算法重构的微分方程的系数矩阵是唯一的.进一步,讨论了用本章的算法重构的系数矩阵与精确的系数矩阵之间的误差的界.数值算例验证了该算法的有效性.
  (2)第三章为适应于一般曲线或曲面的离散数据点及切矢,提出了基于齐次变系数微分方程重构曲线或曲面的方法.首先,考虑了具有特定形式的微分方程,使其具有显式解的表达式,并满足解曲线或曲面的末端插值条件.本文提出了基于可对角化微分方程拟合曲线或曲面的方法,并给出了相应的算法,该算法重构的曲线曲面能够满足末端插值条件.进一步,对于同时包含解曲线或曲面的离散数据点及切矢的情况,提出了基于齐次变系数微分方程的拟合模型.数值实验结果验证了本章算法及模型的有效性.
  (3)第四章依据非齐次微分方程与解曲线曲面的指数表示之间的关系,提出了基于离散数据点重构非齐次微分方程的算法,该算法重构的曲线或曲面满足末端插值条件,并通过数值实验验证了本章算法的有效性.
  2.基于附加条件的抛物型微分方程系数重构问题的研究
  (1)第五章考虑了带热流条件和定点条件的抛物型微分方程中仅依赖时间变量的两个系数的重构问题,建立了该问题解的存在唯一性条件.同时还提出了一种通过变换用差分法和优化方法求解该问题的数值方法.数值算例显示了本文提出的方法具有很好的逼近精度且对含噪数据具有一定的鲁棒性.
  (2)第六章考虑了带Dirichlet边界条件和积分条件的抛物型微分方程中仅依赖时间变量的两个系数的重构问题,建立了该问题解的存在性和唯一性条件.同时还提出了一种用优化方法和差分法迭代求解该问题的数值方法.在该数值方法中,用B样条函数来逼近未知系数,并提出了一种可以自适应地同时选择待优化目标函数中两个B样条函数的节点的方法.数值算例显示了本文提出的方法具有很好的逼近精度且对含噪数据具有较强的鲁棒性.
[硕士论文] 蔡琼辉
应用数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2018(学位年度)
摘要:2005年,El-Nabulsi在研究阻尼谐波振子量子化等问题时,根据Riemann-Liouville分数阶积分的定义提出了一种新的非保守动力学模型。该模型形式简单、便于计算,后称为类分数阶的基本模型。随后,为了进一步研究分数阶变分原理,El-Nabulsi又提出了基于按指数律拓展的分数阶积分和基于按周期律拓展的分数阶积分等类分数阶模型。本文是采用积分因子方法来研究这三种类分数阶模型下Birkhoff系统的守恒定理。
  基于El-Nabulsi分数阶模型的广义Birkhoff系统守恒定理的研究。构造了广义El-Nabulsi-Birkhoff方程的积分因子;研究了系统守恒量存在的必要条件;建立了守恒定理;给出了用于确定积分因子的广义Killing方程;并且分别将基于El-Nabulsi分数阶模型的非保守Hamilton系统和非保守Lagrange系统作为特例进行了讨论。
  基于按指数律拓展的分数阶积分的Birkhoff系统守恒定理的研究。构造了基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi-Birkhoff方程的积分因子;研究了系统守恒量存在的必要条件;建立了相应的守恒定理;给出了用于确定积分因子的广义Killing方程;并且将基于按指数律拓展的分数阶积分的非保守Hamilton系统和非保守Lagrange系统作为特例进行了讨论。
  基于周期律拓展的分数阶积分的Birkhoff系统守恒定理的研究。构造了基于按周期律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi-Birkhoff方程的积分因子;研究了系统守恒量存在的必要条件;建立了相应的守恒定理;给出了用于确定积分因子的广义Killing方程;并且将基于按周期律拓展的分数阶积分的非保守Hamilton系统和非保守Lagrange系统作为特例进行了讨论。
[硕士论文] 曹文娟
运筹学与控制论 兰州交通大学 2018(学位年度)
摘要:二阶奇异边值问题解的存在性在理论和实际应用方面都具有十分重要的研究价值.本文运用锥拉伸与压缩不动点定理及分歧理论讨论了带一般微分算子的二阶奇异边值问题{ u"(t)+a(t)u'(t)+b(t)u(t)+λh(t)f(u(t))=0, t∈(0,1),αu(0)-βu'(0)=0,γu(1)+δu'(1)=0正解及多个正解的存在性,其中α,β,γ,δ≥0,α2+β2>0,γ2+δ2>0,微分算子u"+a(t)u'+b(t)u的系数函数a(t),b(t)允许在t=0,1处奇异.
  本文的主要结果有:
  1.当λ=1时,在α=γ=1,β=δ=0,即Dirichlet边值条件.运用锥拉伸与压缩不动点定理,在f满足超线性或次线性的情形下,获得了该问题至少一个正解的存在性结果.
  2.在Sturm-Liouville边界条件下,将非线性项f在原点处和无穷远处的增长分为九种情形,运用锥拉伸与压缩不动点定理,获得了各种情形下问题正解及多正解或无解时参数λ的取值范围.该结果推广了微分算子中系数函数非奇异时的部分结果,较系统地解决了非线性项在不同增长性条件下,解的个数随参数变化的情况.
  3.在Dirichlet边值条件下,应用分歧理论在权函数变号及f满足一定的增长性条件下,获得了该问题连通分支的形状,即S形.进而得到该问题至少存在三个、两个及一个正解的参数λ的取值范围.
[硕士论文] 吴怡
基础数学 苏州科技学院;苏州科技大学 2018(学位年度)
摘要:本文主要研究了单调集值测度空间中可测函数的性质以及单调集值测度关于原子的分解定理,具体内容如下:
  第一部分给出关于单调集值测度的S*性质、PS*性质、Egoroff条件及条件M*等概念并研究了它们之间的关系。在此基础上,得到了Egoroff型定理及两类Riesz型定理成立的等价条件。
  第二部分讨论定义在由拓扑空间构成的Borelσ-代数上的单调集值测度。首先给出单调集值测度内正则、外正则及正则的概念,并讨论了单调集值测度正则的充分(必要)条件。然后通过集值上连续性,给出了关于单调集值测度的Egoroff型定理,进而得到一些推论。在此基础上,证明了关于单调集值测度的Lusin型定理。
  第三部分首先利用零可加等条件,讨论单调集值测度原子的一些性质,而后给出单调集值测度极小原子的概念并研究其性质。其次引入单调集值测度伪原子的概念并探讨了它的一些性质。最后利用己得的一些结论,证明了关于单调集值测度的Saks分解定理以及与之相关的Darboux性质。
[硕士论文] 李政长
数学 内蒙古大学 2018(学位年度)
摘要:利用扰动理论和算子矩阵的因式分解研究了辛对称Hamilton算子的闭性及其值域的闭性.针对匕三角情形,给出了具有对角定义域时算子闭性的完全描述,并在一定条件下得到了具有一般定义域时算子闭性的刻画.然后,讨论了一般辛对称Hamilton算子成为闭算子的条件.最后,针对对角占优,上行占优等情形,在一定条件下给出了值域闭性的若干描述,并得到了一般情形的结果.
[硕士论文] 张伟红
数学 内蒙古大学 2018(学位年度)
摘要:本文首先综述了无穷维Hamilton算子以及2×2阶算子矩阵的局部谱的研究背景,其次,介绍了文中涉及到的线性算子的局部谱性质,包括(w)性质、(aw)性质、(b)性质、(ab)性质.此外,证明了无穷维Hamilton算子及其共轭之间的谱以及Weyl型定理等局部谱性质的关系,从而得到了有界无穷维Hamilton算子局部谱的若干个等价条件.文章最后举例说明了结论的合理性.
[硕士论文] 史安东
基础数学 兰州交通大学 2018(学位年度)
摘要:In this work, sets out the conditions conformal invariance cylindrically symmetric nonlinear wave equation D'Alembert □u-N/xnun=F(u) relatively conformal algebra AC(1, n-1).This eliminated relationship between exponent functions F(x,u)=λun+3/n-1 of number of spatial variables exist for classical equation □u =F(x,u) for requirement ofconformal invariance relation algebra AC(1,n).A search of invariants and ansatzes conformal algebra AC(1,1), which is used for finding exact solutions of cylindrically-symmetric inhomogeneous wave equation in n =2.
  
[硕士论文] 张世聪
系统理论 北京交通大学 2018(学位年度)
摘要:本文研究了两类椭圆型方程边值问题广义解的正则性:一是定义在Reifenberg区域上弱正则系数条件下的Stokes方程组弱解在加权Lorentz空间上的正则性和Lorentz-Morrey空间上的正则性;二是A-调和椭圆型方程Dirichlet问题的很弱解梯度在Lebesgue空间的正则性.具体内容如下:
  第一章主要介绍了本课题的研究背景和国内外的研究现状,以及本文用到的一些基本概念和基本性质.
  第二章研究了如下的Stokes方程组Dirichlet问题{div(A(x)▽u)-▽P=div F,x∈Q,div u=0,X∈Q,u=0,X∈(a)Q,这里Q(c)Rn,n≥2是个有界区域且边界非光滑以及F=(Fiα)ni,α=1是一个给定的矩阵值函数,其中是未知量为速度u=(u1,u2…un)和压力函数P.运用Hardy-Littlewood极大值算子在加权Lorentz空间的有界性和修正的Vitali覆盖方法证明了当系数A(x)具有小的BMO半范且区域Q是Reifenberg平坦时,方程组的弱解梯度具有全局加权Lorentz正则性.进一步,通过选取恰当的权函数得到弱解梯度在Lorentz-Morrey空间的全局正则性.
  第三章利用Hodge分解的方法,在条件θ∈W1,q(Ω)下建立A-调和椭圆型方程Dirichlet问题{-div A(x,▽u)=-div f(x),x∈Ω,u(x)=θ(x),x∈(a)Ω,的很弱解u∈θ+W1,r0(Ω)在Lebesgue空间的可积性,这里max{1,p-1}<r<p<n且充分接近p,主要结论是依据q≥r的不同情况加以讨论.
[硕士论文] 杨红蕾
基础数学 广西大学 2018(学位年度)
摘要:小波变换是时域和频域的局部变换,通过伸缩和平移对函数进行多尺度的细化,能够同时提供时间和频率信息.近年来,小波变换在数值分析、函数逼近等数学领域,以及滤波、图像识别、图像压缩等信号处理领域中得到了广泛应用.Riesz变换是奇异积分,是Hilbert变换在高维情形下的推广.如何利用时间域采样恢复Hilbert变换以及Riesz变换,是个具有理论和实际应用价值的问题.目前,Hilbert变换的采样恢复研究已经取得了诸多成果.然而,基于时间域采样来恢复Riesz变换的相关研究并不多见.本论文基于箱样条以及小波多尺度采样,建立Sobolev空间Hs(R2)上函数Riesz变换的恢复方法,其中s>1.一些函数的Riesz变换是连续的,但是基于样条Riesz变换的逼近公式在某些点处有数值奇点,因此,消除数值奇点很必要.本论文主要内容如下:
  第一,由于箱样条具有显式表示,它在数值分析中得到了广泛的应用,此外,二阶基数箱样条B2具有加细性.本论文将给出B2的Riesz变换的显式表达式,并基于箱样条的逼近公式,建立Sobolev空间Hs(R2)上Riesz变换的恢复方法,给出相应的恢复误差估计.
  第二,一些函数的Riesz变换是连续的,但RB2在某些点处有数值奇点,消除数值奇点尤为重要.本论文建立多尺度采样逼近的平移扰动误差估计,利用扰动逼近系统,给出消除数值奇点的自适应方法.
  最后,分别对不同函数进行数值仿真实验,以此验证恢复效果.
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