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[硕士论文] 郭欢欢
数学 武汉科技大学 2018(学位年度)
摘要:Brunn-Minkowski理论是凸体几何的中心,而Brunn-Minkowski不等式是经典Brunn-Minkowski理论的基石。当引进Lp加法和数乘后,形成了LpBrunn-Minkowski理论。随着近二十年凸体几何的快速发展,该理论接近完善。需要注意的是,Lp Brunn-Minkowski理论是基于p≥1的情形,此时的p阶幂平均仍然是一个含原点为内点的凸体的支撑函数。但是,当0<p<1时,支撑函数的p阶幂平均一般不再是支撑函数。函数凸性的丧失导致原来建立的Brnn-Minkowski不等式和Minkowski不等式的方法不再适用。本文以Lp表面积为研究对象尝试探究当0<p<1时的情形下Brunn-Minkowski型不等式。
  本文在二维平面上探究这一问题。根据Lp表面积和Minkowski加法,定义了平面上凸体的α-周长的概念,并提出了相应的Brunn-Minkowski型不等式。着重研究平面上的正n边形与圆盘作Minkowski加法的情形,证明了该情形下不等式成立。在此基础上进一步研究了:若多边形的内切圆与各边都相切,则该多边形与圆盘的Minkowski加法下新提出的不等式依然成立。
[硕士论文] 任镜夷
数学;基础数学 南京师范大学 2018(学位年度)
摘要:设N*={1,2,3,…}为正整数集合.令RN*表示定义在N*上取值于一个含幺交换环R中的全体数论函数所构成的集合.1963年,W.Narkiewicz在RN*中引入一种A-卷积,给出了A-卷积正则的定义及等价条件.1978年,V.S.Ramaiah在A-卷积正则的条件下,研究了有理整数环上正则卷积的性质.本文在上述研究的基础上进一步研究了代数整数环上的正则卷积的性质.
  论文的大致框架如下:
  第一章,主要介绍了正则卷积和Menon恒等式产生的背景和研究发展概况,同时给出了本文的主要结果.
  第二章,回顾了有理整数环中正则卷积的定义和性质,并在正则卷积中引入欧拉函数.
  第三章,将有理整数环上经典的正则A-卷积推广到一般的代数整数环oK上.在oK上引入A-卷积和A-正则的欧拉函数,然后将经典的Menon恒等式推广到一般的代数整数环上.
[博士论文] 苏昊
基础数学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:本文中在DG代数层面介绍了Keller的Koszul对偶理论,研究了DG代数完备导出范畴中的silting对象以及正分次箭图上的极小的A∞路代数的导出范畴。具体地,得到如下结果。对给定域K上的同调群具有有限维数的非正分次DG代数A,利用Koszul对偶的方法,通过Dfd(A)中给定的初等的类单族,构造了per(A)中的silting对象;另外,利用Koszul对偶证明了正分次箭图Q上极小A∞路代数都是导出等价的。
  论文具体安排如下:
  第一章介绍研究背景以及论文的主要结果和文章结构。
  第二章回顾DG代数,DG余代数的基本概念和基本性质,介绍Bar构造和Cobar构造。
  第三章介绍DG代数的导出范畴和Keller的Koszul对偶理论。
  第四章介绍A∞代数的基本概念,A∞代数的Bar构造,极小型定理以及A∞模相关概念和性质。
  第五章首先回顾silting对象,非正分次DG代数,类单族基本概念和性质。然后并对极小的严格含幺的正分次A∞代数进行了研究。最后介绍了本文的主要结果。
[博士论文] 夏婉婉
统计学 中国科学技术大学 2018(学位年度)
摘要:对数凹(对数凸)性质是由凹凸性和对数运算衍生出的一个重要概念,凹凸性在很多领域的广泛应用促使很多学者研究对数凹(凸)性质.对于非负函数还可以定义强对数凹;对于非负序列,还可以定义ULC(n)和ULC(∞).几个与对数凹性质关系紧密的概念有单峰性和TP2性质.对数凹分布类因其广泛性和优良的性质在很多领域都有重要应用.本文主要研究了两部分内容,第一部分是关于对数凹(凸)性质的研究,包括对数凹和对数凸关于算子的保持性、对数凹对卷积运算保持封闭性的应用以及两参数复合泊松分布的对数凹性质.第二部分探讨条件熵在对数凹条件下的单调性表现以及在变差距离约束下对偶熵-Extropy的上下界问题.
  第一章是基本知识,首先介绍对数凹性质,熵和Extropy的研究历史和成果.主要列出本文研究内容需要用到的基本定义和性质,后面章节的有些结论是基于这些性质建立起来的.其次讨论对数凹在熵的理论研究中的应用以及熵与Extropy的联系与区别.
  在第二章,我们研究对数凹和对数凸性质在算子下的封闭性.对于一般形式的算子φ→T(φ,θ)=E[φ(Xθ)],θ∈Θ,我们推导出其关于对数凹和对数凸的保持性,这里要求X0服从的分布族具有半群性质以及Xθ关于θ具有某种随机序性质.一些常用的算子可以看作具有此一般形式的算子的特例,主要结论可用于推导Bernstein型算子和Beta型算子关于对数凹和对数凸的保持性以及更新过程的相关结论.
  第三章主要是围绕对数凹关于卷积的封闭性得到的一系列结果.具体的说是对每一个分布F,依据卷积运算和对数凹性质定义一个集合(D)F.对于不同的分布类,可以得到不同的集合,进而建立了这些集合之间的包含关系与参数大小的一一对应.关于常用的离散分布类和连续分布类得到了相应的结果.
  在第四章,基于对数凹性质与TP2的关系,有一系列多参数分布族关于各个参数是否具有对数凹性质的结论.利用对数凹性质与TP2和再生性的相关结论,我们得到双参数复合泊松分布Q(x|θ,v)关于参数x,θ和v的对数凹性质和TP2性质.
  第五章研究对数凹与熵的结合.考虑一个随机变量X在条件X∈(a,b)下的熵H(X|X∈(a,b))关于a,b的单调性,当X具有对数凹的概率密度函数或概率质量函数时,可推出H(X|X∈(a,b))关于a单调递减,关于b单调递增.相关文献中一些错误的结果也在本章中被纠正.
  第六章主要考虑Shannon熵的对偶补充概念Extropy的上下界问题.类似于Shannon熵的上下界问题,推导出Extropy在变差距离约束条件下的上下界以及Extropy的导数的界并得到达到上下界的分布表达式.利用随机序中占优序的优良性质,给出几个结论的简化证明.将上下界的结论应用于统计方面,得到Extropy的置信区间.
[硕士论文] 吴翔
数学 武汉科技大学 2018(学位年度)
摘要:经典Brunn-Minkowski理论构成了现代凸体几何的核心.过去几十年里,经典Brunn-Minkowski理论快速发展成Lp Brunn-Minkowski理论,最近又被延拓成Orlicz Brunn-Minkowski理论.
  本学位论文属于对偶Orlicz Brunn-Minkowski理论,致力于研究对偶调和均质积分的Orlicz Brunn-Minkowski型不等式.本文根据对偶调和均质积分的定义,从星体的Orlicz径向加法运算出发,计算出对偶调和均质积分的一阶Orlicz变分,进一步引出星体的Orlicz混合对偶调和均质积分.对这一类新型几何量,证明它们的Minkowski型等周不等式,并在此基础上,建立了对偶调和均质积分的Orlicz Brunn-Minkowski型不等式.
[博士论文] 祝捷
科学技术史 中国科学技术大学 2017(学位年度)
摘要:近代数学在中国的普及是一个漫长的过程,这种普及工作始于学堂教学和教科书的编写。以西方数学著作和中国古代数学著作的改造和承袭为基础,以传教士译著的数学教科书为载体,以学堂教学为途径,近代数学的普及工作在晚清得以广泛展开。
  为了使近代数学普及的讨论能够更有针对性,笔者选取狄考文的两本数学教科书——《形学备旨》和《代数备旨》作为入手点。以适龄儿童为读者群的《形学备旨》和《代数备旨》是近代真正意义上的数学教科书,以往学者对其研究甚少。立足于数学史和数学教育,可以剥离出几方面的研究点,如行文特点、编写体例、底本问题、对后世的影响、课程与教学方法等方面。
  本文的主要工作包括:通过对《形学备旨》与《代数备旨》行文特点和编写体例的研究,指出这两本书为同时期同类教科书中的优秀之作;通过对《形学备旨》底本的研究,确定了其英文底本,结束了长期以来学界对《形学备旨》底本说法不一的矛盾状况;通过对比《代数备旨》与《代数学》和《代数术》的内容,挖掘了《代数备旨》里特有的知识点,并进行分析和解读,总结了其优点,讨论了其史料价值;在对《形学备旨》与《代数备旨》内容充分了解的前提下,考察了这两本书的特点和影响,以确定科学普及的程度,同时探讨了对它们进行注释的著作,对了解当时学习者的反馈情况有所帮助;最后,基于以上所有分析,总结了狄考文的教科书编写思想,认为这种创先河的编书思想对之后的教科书编写影响深远,提高了此后数学普及的效率。
  本研究得出的结论主要有:(一)《形学备旨》的出版是西方几何学在中国广泛普及的开端;(二)《形学备旨》是近代编写水平较高的初等几何教科书;(三)“等腰三角形”、“顶角”和“圆心角”等名词为狄考文所创并沿用至今;(四)不同于以往学者的研究结论,《形学备旨》的底本是来自4位作者的4本教科书;(五)《代数备旨》全面探讨了分母为零(包含分子为零和不为零的情况)和分子分母全为无限大的代数知识;(六)《代数备旨》是晚清第一本讲解不等式方程、含有习题和应用题的代数教科书;(七)西方几何学和代数学在中国的普及是以传教士为先导,教会学校为媒介,自下而上的影响到中国学者阶层;(八)狄考文的教科书编写思想虽不成体系,但在当时是先进的和符合中国国情的。
[硕士论文] 张丹
数学 曲阜师范大学 2017(学位年度)
摘要:本文研究了标准算子代数上的n-等距,给出了标准算子代数上的初等算子是二等距或三等距的充要条件,同时给出了它们是n-等距的一个充分条件.
  
[硕士论文] 杨灿
运筹学与控制论 四川师范大学 2017(学位年度)
摘要:本文主要研究了随机变分不等式问题的投影梯度算法和变分不等式问题的修正惯性外梯度算法,具体为下列三个部分:
  第一章,介绍了与变分不等式和随机变分不等式有关的研究背景和现状,本文的预备知识与主要内容.
  第二章,在RN空间中研究了随机变分不等式的投影梯度算法.该算法的优点在于:在迭代的每一步,只需向可行集C投影一次,也只需对函数F赋值一次.这使得算法简单快速,特别对于函数值F以及在可行集C投影难以计算的情况.首先介绍了一些有用的定义和引理,然后建立了随机变分不等式的投影梯度算法.最后在一些合适的假设条件下,我们证明了该算法产生的迭代序列的全局收敛性.
  第三章,在RN空间中研究了一般变分不等式的修正惯性外梯度算法.其主要工作是利用线性搜索松弛映射的Lipschitz连续条件.首先介绍了一些相关的定义和引理,然后建立了修正惯性外梯度算法.并且在一些合适的假设条件下,我们证明了该算法产生的迭代序列的全局收敛性.最后,我们给出了算法的数值实验.数值结果表明,在某些情况下,修正惯性外梯度算法加快了已有的外梯度算法和惯性外梯度算法以及二次投影梯度算法.
[硕士论文] 林昌娜
基础数学 西南大学 2017(学位年度)
摘要:不定方程在数论中占有重要的位置,而指数型不定方程ax+by=cz的求解更是其中一种比较难的类型.1956年Jeémanowicz猜想对于不定方程(an)x+(bn)y=(cn)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),这里a,b,c是两两互素的正整数并且满足a2+b2=c2.本文利用初等的方法证明了:对于任意的正整数n,指数型不定方程(51n)x+(1300n)y=(1301n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),即当a=51,b=1300,c=1301时,Jeémanowicz猜想成立.
[硕士论文] 文东
学科教学(数学) 四川师范大学 2017(学位年度)
摘要:数学问题解决是一项人类所独有的认知过程,平面几何问题解决亦是如此,其中包含着视觉、思维等高级认知过程。模式识别作为数学问题解决中重要一环,对其作深入研究,有利于加深对数学问题解决认知过程的认识。
  本文依据认知心理学及数学问题解决两大领域已有研究成果,在此基础上界定了本文研究中的两个核心概念。将平面几何问题解决中的模式界定为:平面几何中的基本图形,及基本图形所对应的概念、公理、定理、命题、推论及常用结论,平面几何问题中具有共同结构的一类问题或具有相同解法的一类问题,以及常用的解题技巧与解题方法。将平面几何问题解决中的模式识别界定为:当问题解决者接触到平面几何问题后,通过对问题的条件、结论、语句关系、结构及问题所对应的几何图形进行认识、理解,然后将面临的平面几何问题与自身认知结构中储存的图形模式、问题模式、方法模式进行匹配的认知过程。平面几何问题解决中的模式具有怎样的特征;与其它数学问题解决中的模式相比,其特殊性何在?平面几何问题解决中的模式识别是如何进行的?这是本文确定的研究问题。
  第三、四章是本研究的主体部分。在这两章的研究中,笔者采用理论分析、出声思维、访谈、实验研究等研究方法,试图对上述问题作出回答。在第三章中,笔者依据图形对于平面几何的重要性,分析了平面几何问题解决中的模式的特征。将平面几何问题解决中的模式分为:图形模式、方法模式、问题模式三类,举例加以说明,并探讨了平面几何问题解决中模式具有的层次性、整体性及主观性。第四章的两项研究是基于第三章的理论分析结果而进行的,研究一主要是为了探讨平面几何问题解决中的图形模式识别,研究二主要是为了探讨平面几何问题解决中的方法模式识别。
  第四章研究一的主要研究结论有:①解决平面几何问题时,问题解决者往往会从熟悉的图形模式入手,对于多个图形模式叠加的情况,从多个叠加的图形模式中分离出符合解题目标的图形模式是解题成功的关键。②整个解题过程中,几何直觉都发挥着重要作用。③当能够在问题所对应几何图形中分离出不同的图形模式,而且每一个图形模式都符合解题目标时,不同的模式识别方式,会对应不同的解法,这是形成平面几何问题往往存在多解的主要原因。④几何问题的难度与问题图形中符合解题目标的图形模式的多少存在显著的相关关系。研究二的主要研究结论是:方法模式识别对解决同型问题成绩并无显著性影响,但对解决变式问题有显著性影响。因此,在平面几何问题解决模式的积累中,要特别注意模式的整体性,不仅要积累一个模式所对的基本图形与问题类型和结构,还要积累对应于这个模式的解题方法。注重模式的整体性,更便于解决变式问题时进行正确的模式识别。
[硕士论文] 刘海丽
基础数学 西南大学 2017(学位年度)
摘要:本文利用代数数论的方法、递推序列法、二次剩余法,对关于不定方程(n2—4)x+(4n)y=(n2+4)z的JeSmanowicz猜想的一类特殊情形进行了证明,并得到如下结论:
  定理1当n≡-1(mod16)时,设n=ps(p为素数,sGZ+),则对于不定方程(此处公式省略)Jesmanowicz猜想成立.
  定理2当n≡-1(mod16)时,设n2+4=ps(p为素数,sGZ+),则对于不定方程(此处公式省略)Jesmanowicz猜想成立.
[博士论文] 王星星
基础数学 西南大学 2017(学位年度)
摘要:经典的Bmnn-Minkowski不等式与Minkowski不等式是 Brunn-Minkowski理论中最重要的几何不等式,是经典等周不等式的自然推广。2012年,B?r?czky-Lutwak-Yang-Zhang给出了平面中关于原点对称的凸体的log-Minkowski不等式及 log-Brunn-Minkowski不等式,并猜想 log-Minkowski不等式及 log-Brunn-M inkow ski不等式对高维空间中原点对称的凸体也成立.猜想的log-Minkowski不等式及log-Brunn-Minkowski不等式加强了经典的Brunn-Minkowski不等式与 Minkowski不等式,且在解决log-Minkowski问题唯一性中至关重要.目前高维空间中关于原点对称凸体的log-Minkowski不等式的研究较多,而非对称凸体的 log-Minkowski不等式的研究困难重重。最近,A.Stancu研究了高维空间中非对称凸体的log-Minkowski不等式,并证明了高维空间中特殊情形下猜想的log-Minkowski不等式。
  本文研究了空间中非对称凸体的log-Minkowski不等式。介绍了平面中已知的log-Minkowski不等式和log-Brunn-Minkowski不等式,然后给出高维空间中非对称凸体的log-Minkowski不等式及log-Minkowski型不等式(猜想的log-Minkowski不等式的等价形式),这些不等式推广了A. Stancu的结果。探讨了对偶的log-Minkowski不等式及其等价形式。得到一个关于p-仿射表面积的不等式,它是p-仿射等周不等式的自然推广。同时,给出了Mahler猜想的一个近似估计,即凸体与其极体体积之积(仿射不变量)的下界估计。
[硕士论文] 王云凤
基础数学 山东大学 2017(学位年度)
摘要:指数和是数论研究的核心课题,有重要的理论意义和应用价值.设集合M代表所有函数值为复数的积性函数的集合,M1(c)M且对(V)f∈M1,有性质|f(n)|≤1,n∈N.令e(α)=e2πiα,其中α代表无理数.令M'是算术函数的集合,其中函数符合一定的条件,例如M'=M1.对于f∈M'或f为某一特殊的算术函数,本文主要研究形如1/E(x)∑n≤xn∈Ef(n)e(nα)
  指数和的渐进行为,其中E是一个整数集合并且E(x)=∑n≤xn∈E1.
  1954年,Vinogradov[25]的一个非常著名的结果是如果Q(n)=αknk+αk-1nk-1+…+α1n是一个多项式,αk,…,α1都是实数且最少有一个是无理数.那么
  limx→∝1/π(x)∑e(Q(p))=0.
  1974年,Daboussi和Delange[6]证明了对于任意给定的无理数α,f∈M1下式成立limx→∞ supf∈M11/x∑n≤xf(n)e(nα)=0.x
  后来,Delange扩大了此结果的函数类,对于f∈L2,也就是对任意的f∈M,满足条件1/x∑n≤x|f(n)|2=O(1),结果是成立的.Indlekofer又将f扩展到更大的函数类里去,对f∈L*,即对任意的f∈M,满足limy→0supx1/x∑|f(n)|≥yn≤x|f(n)|=0,结果仍然成立.
  1986年,I.Kátai[9]证明了suo/f∈M1|1/x∑n≤xf(n)e(Q(n))|→0,x→∞.
  2012年,J.M.De Koninck和I.Kátai[17]定义了一种新的算术函数l(n):=g1(F1(n))…gs(Fs(n)),其中F1(n),…,Fs(n)是整系数多项式,并且只有当x>0的时候,Fi(x)>0,i=1,2,...,s.gi(i=1,2,…,s)都是复值可乘函数,并且满足特殊条件.令Sf(x):=∑n≤xf(n)l(n)e(Q(n)),得到了两个新的
  结果:suof∈M1|Sf(x)|/x→0,x→∞,|1/li(x)∑p≤xl(p)e(Q(p))|→0,x∞.
  本文的主要工作是将上述素变量指数和推广到算术级数中素变量指数和中去,即证明
  定理0.1对于固定的k,l,满足(k,l)=1,当x→∞时,有下式成立11/li(x)|∑p≤xp≡l(mod k)l(p)e(Q(p))|→0.
  其中l(n):=g1(F1(n))…gs(Fs(n)),F1(x),…,Fs(x)∈Z[x],并且只有当x>0时,F1(x),…,Fs(x)>0.对于i=1,2,…,s,gi都是复值的可乘函数,并且满足特殊条件(在第三章中介绍).
  本文主要使用Turán-Kubilius不等式[24]的经典方法来证明我们的结论.定理的证明用到了G.Tenenbaum[24]第三章的内容和J.M.De Koninck与I.Kátai[17]的相关引理以及初等数论和解析数论的知识.本文共分三个章节,第一章是导言部分,主要介绍问题的研究背景和目前的研究成果;第二章主要做一些预备工作;第三章是论文的主体,讲的是论文证明过程中需要的引理以及本文主要定理的证明.
[博士论文] 张新
数学;基础数学 南京师范大学 2017(学位年度)
摘要:本文主要研究几类丢番图方程.文章主要由三部分构成.
  1.第一部分,我们研究了广义费马方程,得到了下面几个结论:
  (1.1)设素数p满足br+1=2pt,其中r,t,b为正整数,且b≡3,5(mod8),则丢番图方程x2+bm=pn只有一组正整数解(x,m,n)=(pt-1,r,2t).进而,如果b=q是奇素数,并且r=t=2,则上述方程满足下述条件之一时只有一组正整数解,这里条件(i)q≡3,5,7(mod8);条件(ii)q≡1(mod8)且d=1或者d是偶数,其中d为素理想p在虚二次域Q(√-q)的理想类群中的阶,p|p.
  (1.2)令p≠q为两个素数,则除去q=2的情况外,方程p2m-qn=z2至多有一组非平凡解(m,n,z).进而,丢番图方程x2m-yn=z2仅有有限组正整数解(x,y,z,m,n),其中x>y是连续的两个素数.
  2.在第二部分,我们研究了乘法元上的加法性质,并得到了以下结果:
  (2.1)设K为一个代数数域,OK为其整数环.n是OK中的一个非零理想.任取剩余类环OK/n中元素a,定义(OK/n)*·a为a的一个轨道.首先,我们给出了任意两个轨道之和的轨道分解.其次,对两个轨道之和中的任意元素,我们得到了它在这两个轨道中不同分解个数的表达式.
  (2.2)我们给出了剩余类环上例外单位之和的表达式,并得到一个恒等式.
  3.在第三部分,我们考虑一类椭圆曲线E:y2=x(x+2tp)(x+2tq),其中t为非负整数,p<q为两个奇素数且满足q-p=2s.我们给出了该椭圆曲线的秩与Shafarevich-Tate群(沙群)之间的关系.进而在BSD猜想成立的条件下,得到了一类椭圆曲线的秩.
[硕士论文] 孙凯文
数学物理 中国科学技术大学 2017(学位年度)
摘要:Calabi-Yau流形上的拓扑弦是数学物理中最为丰硕的领域之一。在数学上,其导出的镜像对称联系起Calabi-Yau上的辛几何与代数几何。本文研究拓扑弦理论中的若干问题,分两部分。第一部分证明了Haghighat-L ockhart-Vafa猜想在n=3时的情况,即在E8×E8杂化弦理论中,三对E-strings构型等价于三个杂化弦构型。在数学上这涉及到local half K3 Calabi-Yau threefold的性质以及E8 Weyl-invariantJacobi形式的新的非平凡恒等式。第二部分研究一般local Calabi-Yau的镜曲线的严格量子化,建立了exact Nekrasov-Shatashivili量子化与Grassi-Hatsuda-Mari(n)o猜想之间的等价性条件。对于一条亏格g的镜曲线,exact Nekrasov-Shatashivili量子化给出g个量子化条件,可以从非微扰拓扑弦的Lockhart-Vafa配分函数得到。而Grassi-Hatsuda-Mari(n)o猜想联系起拓扑弦与谱理论,其中曲线量子化由一个量子Riemann theta函数为零得到。本文我们发现至少存在g个不等价的量子Riemann theta函数,使得全部不等价量子Riemann theta函数的Theta除子之交恰好与g个exact Nekrasov-Shatashivili量子化条件的谱重合。此两种量子化途径的等价对local Calabi-Yau的refined Gopakumar-Vafa不变量给出无穷多约束。
[硕士论文] 程汉波
学科教学(数学) 华中师范大学 2017(学位年度)
摘要:不等式是初等数学的核心内容之一,是锻炼学生代数运算与逻辑推理能力的绝好素材,不等式也是高等数学中研究“分析”的重要工具,是进一步学习近现代数学甚至其它学科的重要基础和工具.在整个数学知识体系中占有一席之地,是数学基础理论的重要内容.
  有关一元的不等式问题大都用函数的观点解决;关于n元不等式问题灵活多变,技巧性强,是目前国内外研究的热点主题,难度颇大;然而,关于二元、三元的不等式问题虽然也灵活多变,但相对于n元不等式却较为具体和系统,相对也更具趣味性,而且大量三元不等式与三角形中有关内角三角函数的恒等式或不等式联系非常紧密,同时,各级各类数学竞赛中有大量的数学竞赛中经典的三元代数不等式可以找到其三角不等式背景,而且,利用已有三角不等式也可以系统地生成三元代数不等式,其中,不少三元代数不等式形式优美简洁,可以供各级各类数学竞赛作为试题选拔学生.
  本文旨在通过两个方面揭示它们之间的内在联系,一方面,由简单三角不等式引致优美的代数不等式,主要有两条途径:一是用经典的“内切圆代换”a=y+z,b=z+x,c=x+y,然后将ΔABC三内角或半角相关的三角函数值用x,y,z的代数式表达,进而将有关A,B,C的简单三角不等式转化为x,y,z的优美代数不等式;二是以ΔABC中常见三角恒等式为代换基础,引入变量x,y,z,然后将其余的ΔABC三内角或半角相关的三角函数值用代换的变量予以表示,进而将简单三角不等式转化为x,y,z的三元代数不等式.另一方面,由优美的三元代数不等式,我们也可以考虑通过代换寻找其等价的三角不等式形式,这也是数学竞赛命题的一种惯用手法.
  理论与实践相结合,我们拟给出两个具体的研究案例,一是对2002年一道伊朗的数学奥林匹克代数不等式试题进行变式探究,利用常见的三角不等式,结合三角代换进行变式探究,得到了大量新的代数不等式,而且不少结果与往年的数学竞赛试题不谋而合.二是对1996年一道伊朗的数学奥林匹克代数不等式试题进行变式探究,利用常见的三角代换进行变式探究,得到了大量新的三角不等式.对具体案例的研究,我们旨在更具体地揭示三角不等式与代数不等式之间的紧密联系.这对于竞赛数学的解题和命题以及研究性学习均有一定的参考价值.
[硕士论文] 刘建勋
数学 重庆大学 2017(学位年度)
摘要:在过去的几十年中,变分不等式问题被广泛地用于解决经济、交通、管理等实际问题。然而,在实际问题中,会不可避免地存在一些不确定的变量,如何处理这些不确定的变量近年来越来越受到广泛的关注和重视,目前比较流行的一种处理方法是采用极小化相应不确定变分不等式的间隙函数的期望,得到一种期望残差极小化意义下的一种解。但是,使用这种处理方法的一个前提条件是需要已知这个不确定变量的概率分布信息,而在实际问题中这个分布信息不一定能够很好的得到,并且对于一些风险厌恶型的决策者来说,这种极小化期望残差的方法并不是一个好的选择。
  本文从鲁棒优化的角度考虑不确定变分不等式问题,通过极小化不确定变分不等式问题的间隙函数可能出现的“最坏”的情况,定义该问题的鲁棒对应,从而将求解变分不等式问题转化为求解鲁棒优化问题,进而提出原不确定变分不等式问题鲁棒解的概念,得到了刻画一些特殊的变分不等式问题鲁棒解的最优性条件,并将该方法推广应用到了不确定向量变分不等式问题中,给出了不确定向量变分不等式问题鲁棒解的定义,同样的,本文得到了一类不确定向量变分不等式问题鲁棒解的最优性条件刻画。
[博士论文] 黄建峰
应用数学 苏州大学 2017(学位年度)
摘要:本研究以Lagrange展开定理为主线,试图建立组合反演的一般理论。主要包括:第一章简单介绍了Lagrange展开定理(反演)和组合反演方法的发展历史.同时给出了本文后续各章所需的形式幂级数环和基本超几何级数理论的预备知识。第二章主要从单、多变量,分析与代数的不同角度,全面回顾了Lagrange展开定理所出现的不同形式与证明方法.具体而言就是分别在分析学和形式幂级数环框架下的、单变量和多变量的Lagrange展开定理,以及一类重要的推广形式—q–模拟。第三章以“组合分析学中的组合反演是数学反问题的特殊形式”为基本观点,第一次以线性与非线性组合反演的分类对现有的组合反演做了较为全面的总结.线性反演方面,首先建立了包含Riordan群理论在内的、以Lagrange展开定理为核心的线性反演理论.其次建立了两个隐藏于Lagrange展开定理背后的线性反演—(h;?,ψ)–矩阵反演,这两个反演包含了初文昌[18]的反演以及Riordan[83, Chapters II, III]中的所有反演。第四章里我们将文献[69]的广义Lagrange展开定理与Garsia等人在文献[27,43]所得到的Lagrange展开定理相结合,给出了后者建立的Dyck路理论与Lagrange展开定理的一种很自然明确的组合解释.主要提出了加权Dyck路的概念并建立了任意形式幂级数沿给定的加权Dyck路展开的一般Lagrange展开定理。第五章主要围绕Lagrange展开定理在建立组合反演以及组合恒等式方面的应用. 作为主要结论,我们首先给出了[54]中的诸多学者如Pfaff, Cauchy, Olver等人建立的导数恒等式的统一证明,并且给出了它们的多重推广.其次探讨了由2016年底数学家陶哲轩提出的一个反演问题,从中建立了一些新的非线性反演.同时我们也讨论了在非正则条件(相对x=tR(x)),即函数关系x=R(x)下Lagrange展开定理的理论依据.相关的方法与结论是对Ira M.Gessel于2016年发表的论文[35]一些问题的深入讨论.本章最后也讨论了Lagrange展开定理在Catalan数及其推广方面的应用。
[硕士论文] 木效文
计算数学 杭州电子科技大学 2016(学位年度)
摘要:本研究首先介绍了重心坐标的研究背景、研究现状以及研究意义。其次介绍了平面多边形重心坐标的定义和平面凸多边形重心坐标的一般构造方法和性质。然后,着重介绍了平面双线性坐标和有理双线性坐标的研究现状。接下来,研究空间六面体三线性坐标唯一的充要条件,即将六面体的其中四个顶点表示为由其他四个顶点组成的四面体的重心坐标,并利用四面体重心坐标的唯一性得到一个含有三个方程的三元方程组。方程组的解对应六面体三线性坐标,因此使方程组的解唯一的条件便是所求。对于给定的平面四边形,研究平面上使得有理双线性坐标唯一的点集的具体参数表达式。该参数表达式是一个圆锥曲线,为了方便描述,称之为平面四边形的特征圆锥曲线。得到特征圆锥曲线为一条有理二次 Bézier曲线,平面上特征圆锥曲线外部的点存在两个有理双线性坐标,而特征圆锥曲线内部的点则不存在有理双线性坐标。并给出了特征圆锥曲线的几个性质。
[硕士论文] 白凯娟
计算数学 杭州电子科技大学 2016(学位年度)
摘要:重心坐标由于能通过边界上的点数据对多边形内部的点插值,以完成图形的几何变换,包括图形的缩小、放大、平移、旋转,曲线与曲面的拟合、拼接、分解和局部曲线的修改等操作,所以近些年作为独立的研究领域发展起来。本文主要研究双线性坐标的几何意义。
  本研究介绍了重心坐标的研究背景、发展历程,阐述了现有的重心坐标的优缺点,以及研究双线性坐标的意义。介绍了Bezier曲线的定义、Bezier曲线的几何作图算法、重心坐标的定义。Bezier曲线是在孔斯双三次曲面片与参数样条曲线曲面的基础上提出的,它的出现给设计者带来很大的方便,使得设计者能够直接观察到控制顶点与曲线之间的关系,之后介绍了实现 Bezier曲线的几何作图算法-de Casteljau算法。接着介绍了重心坐标,最初始的定义是用三角形顶点的权重系数来定义,并且介绍了重心坐标的基本性质。介绍了二次Bezier曲线,一条二次Bezier曲线即是一条抛物线,之后将抛物线三切线定理推广到二次Bezier曲线的切线定理,并且通过代数的方法证明了此定理以及其逆定理的成立,接着举出实例,任意四边形仅存在一条二次Bezier曲线与四条边相切。介绍了 Floater最新提出来的双线性坐标,并且以二次Bezier曲线的切线定理作为理论基础,从映射的角度,研究了平面四边形双线性映射的逆的几何意义。在梯形所在平面内,对于两腰的交点,其双线性映射的逆有无穷多个;对于过梯形两腰延长线的交点且与底边平行的直线上的点(除交点),其双线性映射的逆不存在;对于平面上其他点的逆唯一。对于任意平面四边形,存在抛物线与四条边所在直线相切,那么抛物线上点的双线性映射的逆唯一,对于抛物线外侧的点,其逆有两个,对于抛物线内侧的点,其逆不存在。在双线性坐标的几何意义研究的基础上,我们可以展开去研究有理的双线性坐标以及它的良好的性质,或者在此基础上,去研究空间上有理双线性坐标的几何意义等。
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