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大维随机矩阵理论及其应用
成果信息
立项支持
  • 公布年份:
    2013
  • 中图分类:
    TP273.8
  • 关键词:
  • 成果简介:
    大维随机矩阵理论肇始于20世纪50年代末诺贝尔物理学奖获得者E.Wigner教授的两篇文章。Wigner把由大量粒子构成的复杂物理系统中粒子能级分布的问题刻划为一个随机矩阵特征根的分布问题,并导出了著名的半圆率,从而创立了随机矩阵理论。该项目于20世纪80年代初开始大维随机矩阵理论的研究。先后创造了分段截尾和分段求极限等新方法,解决了随机矩阵理论中谱分布收敛速度以及极端特征根的极限等著名难题,从而开拓了随机矩阵理论的若干个新的研究方向。这些成果至今仍是解决该领域中相关问题的主要方法。自2000年以后,随着计算机的广泛应用,数据分析变成了统计研究的热门课题。为适应这一新课题的需要,该项目开辟了把随机矩阵理论引进到高维数据分析的先河,取得了一系列成果,引起了国际统计学界的特别关注和好评。该项目包含三个重要科学发现:第一,建立了由样本协方差矩阵特征根定义的线性谱统计量的中心极限定理,为随机矩阵理论在统计中的应用奠定了理论基础,并推广到由随机矩阵特征向量构成的线性谱统计量,建立了样本协方差矩阵特征向量的线性谱统计量的中心极限定理。该成果为解决困扰学术界多年的特征向量矩阵因维数增加而导致的困难引进了一个新的研究方式,从而为高维海量数据分析创造了可行的方法;该结果已被同行及应用领域大量引用。第二,证明了随机矩阵领域著名的圆律猜想。所谓圆律就是说元素由独立同分布的标准化随机变量构成的n阶方阵的特征根除以根号n的经验分布收敛于复平面上单位圆内的均匀分布。1984年,前苏联著名随机矩阵论专家V.L.Girko教授给出了包含许多数学错误的证明,无人能肯定其正确性。但也因此使得该问题变成一个著名的公开问题。该项目经过13年的不懈努力,1997年得到肯定的证明,发表在国际顶级概率论杂志《AnnalsofProbability》上。菲尔兹奖获得者T.Tao称该结果为圆律猜想做出了突破性的贡献。第三,提出了非精确渐近正态检验。众所周知,当数据维数大于自由度时传统的Hotelling检验因没有定义而不能用来检验两样本均值向量的假设。1958年,哈佛大学的A.P.Dempster教授为补救这一窘境提出了非精确检验(NET)。该项目应用大维随机矩阵谱分析理论,证明了Dempster的NET不仅在维数大于自由度时对Hotelling检验是一种补救,而且当数据维数比较大时,即使Hotelling检验可用,NET也远比Hetelling检验有效。同时,该项目提出了比Dempster检验更简洁但具同等功效的渐近正态检验(ANT)。为此,还导出了上述三种检验的渐近功效。通过上述结果向数理统计界严正提出:大维数据分析应该舍弃传统的在无偏性条件下追求最优检验的理论,应该在保障最大功效的条件下追求渐近无偏检验。这一课题为大维数理统计分析提出了一种全新的理念。这一思想已受到同行的广泛重视,并在各权威刊物上发表多种形式的推广。该项目7篇代表性论文SCI他引163次,19篇核心论文他引230次。由于代表性专著第一版仅在国内发行,但它的广泛影响引起了世界著名出版社springer的特别关注。他们主动出面与作者及科学出版社联系发行第二版,该专著已由Springer在世界范围内发行。
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